Замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности — тренажёр
Тренировка по теме «Замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Отрезок медианы от точки пересечения медиан до середины стороны равен 5 см. Найди длину всей медианы (в см).
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
9 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Отрезок медианы от точки пересечения медиан до середины стороны равен 6 см. Найди длину всей медианы (в см).
Подсказка. Эта часть — одна треть медианы.
Как решать. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины, поэтому часть до середины стороны — одна треть всей медианы: 3 · 6.
Ответ: 18
Пример 2. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 8 см, а радиус вписанной окружности — 4 см. На сколько сантиметров радиус описанной окружности больше?
Подсказка. Описанная окружность проходит через вершины и всегда больше вписанной.
Как решать. Из радиуса описанной окружности вычитаем радиус вписанной: 8 − 4.
Ответ: 4
Пример 3. В каком треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной? Запиши название треугольника в именительном падеже.
Как решать. Катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны друг другу, поэтому все три высоты сходятся в вершине прямого угла.
Ответ: прямоугольный
Пример 4. Отрезок медианы от точки пересечения медиан до середины стороны равен 2 см. Найди длину всей медианы (в см).
Подсказка. Эта часть — одна треть медианы.
Как решать. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины, поэтому часть до середины стороны — одна треть всей медианы: 3 · 2.
Ответ: 6
Пример 5. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 11 см, а радиус вписанной окружности — 4 см. На сколько сантиметров радиус описанной окружности больше?
Подсказка. Описанная окружность проходит через вершины и всегда больше вписанной.
Как решать. Из радиуса описанной окружности вычитаем радиус вписанной: 11 − 4.
Ответ: 7
Пример 6. Отрезок медианы от точки пересечения медиан до середины стороны равен 5 см. Найди длину всей медианы (в см).
Подсказка. Эта часть — одна треть медианы.
Как решать. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины, поэтому часть до середины стороны — одна треть всей медианы: 3 · 5.
Ответ: 15
Пример 7. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 10 см, а радиус вписанной окружности — 3 см. На сколько сантиметров радиус описанной окружности больше?
Подсказка. Описанная окружность проходит через вершины и всегда больше вписанной.
Как решать. Из радиуса описанной окружности вычитаем радиус вписанной: 10 − 3.
Ответ: 7
Пример 8. Отрезок медианы от точки пересечения медиан до середины стороны равен 7 см. Найди длину всей медианы (в см).
Подсказка. Эта часть — одна треть медианы.
Как решать. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины, поэтому часть до середины стороны — одна треть всей медианы: 3 · 7.
Ответ: 21
Пример 9. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 12 см, а радиус вписанной окружности — 4 см. На сколько сантиметров радиус описанной окружности больше?
Подсказка. Описанная окружность проходит через вершины и всегда больше вписанной.
Как решать. Из радиуса описанной окружности вычитаем радиус вписанной: 12 − 4.
Ответ: 8
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Где находится центр окружности, вписанной в треугольник?
Ответ: в точке пересечения биссектрис
Пояснение. Точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, поэтому пересечение биссектрис равноудалено от всех трёх сторон — это центр вписанной окружности.
Вопрос 2. Какие утверждения о точке пересечения медиан верны?
Ответ: медианы пересекаются в одной точке; она делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины; её называют центроидом
Пояснение. Медианы пересекаются в центроиде и делятся в отношении 2:1 от вершины; равноудалённой от вершин является центр описанной окружности, а не центроид.
Вопрос 3. В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника.
Ответ: Неверно
Пояснение. В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжения сторон, поэтому ортоцентр лежит снаружи.
Вопрос 4. Медиана треугольника равна 15 см. Найди расстояние от вершины до точки пересечения медиан (в см).
Ответ: 10
Пояснение. Точка пересечения делит медиану в отношении 2:1 от вершины: 15 : 3 = 5 — одна треть, значит от вершины 10 см.
Вопрос 5. Сопоставь точку треугольника и линии, из которых она получается.
Пояснение. Каждый центр собирается из своих линий: равноудалённость от сторон — биссектрисы, от вершин — серединные перпендикуляры, перпендикуляры из вершин — высоты.
Вопрос 6. Расставь шаги построения центра описанной окружности.
Ответ: найди середины двух сторон → проведи через середины перпендикуляры к сторонам → отметь точку пересечения перпендикуляров
Пояснение. Сначала делим стороны пополам, затем проводим серединные перпендикуляры, и только потом отмечаем точку их пересечения.
Вопрос 7. Вставь пропуски: окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется ___, а окружность, проходящая через все три вершины, — ___.
Ответ: вписанной → описанной
Пояснение. Вписанная окружность касается всех трёх сторон изнутри, описанная проходит через все вершины.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.