Как решать задачи на работу: производительность и объём

Классика из домашки: к бассейну подведены две трубы, первая наполняет его за 6 часов, вторая — за 4. Вопрос «за сколько часов они наполнят бассейн вместе?» половина класса отвечает «за 10» и получает минус. Совместная работа даёт 2,4 часа — меньше, чем у любой трубы поодиночке, и в этом весь смысл темы: складываются не времена, а производительности. Разберём модель, которая делает такие задачи механическими, и все сюжеты, в которые её наряжают.

Модель A = p·t: объём, производительность, время

У любой задачи на работу три величины, и ведут они себя точно как путь, скорость и время в задачах на движение. Объём работы A — сколько всего нужно сделать: бассейнов, деталей, страниц. Производительность p — сколько работы делается за единицу времени. Время t — длительность. Связывает их та же конструкция:

Если объём не назван — не сказано, сколько литров в бассейне, — всю работу принимают за единицу: один бассейн, один заказ, одна стена. Тогда производительность — это доля работы в час: труба, наполняющая бассейн за 6 часов, даёт $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Приём «вся работа = 1» снимает вопрос про литры: объём сокращается, и ответ зависит только от долей.

Совместная работа: складываем производительности

Почему складываются именно производительности — картинка простая: за один час первая труба наливает шестую часть бассейна, вторая — четверть, и работают они одновременно, так что вода прибывает суммарно. Времена складывать бессмысленно: время — это длительность работы каждого, а не его вклад. Из правила следует быстрая проверка любого ответа: совместное время всегда меньше, чем у самого быстрого работника в одиночку. Вышло 10 часов при трубах за 6 и 4 — где-то ошибка.

Форма «время равно единице, делённой на производительность» — обратная величина: чем больше производительность, тем меньше время, $t=\frac{1}{p}$. Это та же обратная пропорциональность, что у гиперболы. Если объём задан — 240 деталей, 120 страниц — можно работать и с ним: $240=p\cdot t$, и лишние множители всё равно сократятся. Ответ не изменится, поэтому единица надёжнее: вычислений меньше, ошибок тоже.

«Первый на два часа быстрее»: уравнение с разницей

Второй типовой сюжет: первый рабочий выполняет заказ на 2 часа быстрее второго, а работая вместе, они справляются за 2 часа 55 минут. За сколько часов справился бы каждый в одиночку? За x бери время первого, время второго выражай через него: x + 2. Совместная производительность известна из условия: 2 ч 55 мин = $\frac{35}{12}$ часа, значит, вместе они делают $\frac{12}{35}$ работы в час. Каждый вносит свою долю, и уравнение складывается из долей за час:

Обрати внимание на проверку: подставь найденные времена обратно в уравнение долей — если сошлось, решение честное. И следи, о чём спрашивают: задача спросила про каждого в одиночку, а не про совместное время, значит, в ответе должны быть два числа. Ответ «2 ч 55 мин» при верном решении — потерянный балл за невнимание к вопросу.

Работа по очереди: уравнение долей

Когда работники трудятся не вместе, а по очереди, уравнение собирается из долей: каждый внёс свою часть, части в сумме дают целое. Типовая задача: работая вместе, двое выполняют заказ за 6 часов; первый проработал 3 часа, его сменил второй, который закончил за 7 часов. За сколько справился бы каждый в одиночку? Обозначь индивидуальные времена за x и y. Первый внёс $\frac{3}{x}$ заказа, второй — $\frac{7}{y}$, вместе ровно один заказ:

Второе уравнение даёт совместную работу: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$. Вычти из первого уравнения утроенное второе: $\frac{3}{x}$ и $\frac{3}{x}$ сократятся, останется $\frac{4}{y}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, откуда y = 8. Тогда $\frac{1}{x}=\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}$ и x = 24. Ответ: второй в одиночку — 8 часов, первый — 24. Проверка долей: $\frac{3}{24}+\frac{7}{8}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}=1$.

Мини-таблица: сюжет → переменная → уравнение

Четыре сюжета покрывают почти все задачи на работу из учебника, ОГЭ и первой части профильного ЕГЭ. Разница между ними — только в том, что принять за x:

Перед уравнением задай себе три вопроса: что здесь вся работа и принята ли она за 1, кто и сколько времени работал, что спрашивают в ответе. Третье — самое важное: уравнение честно решается, а вопрос подставляет ловушку, спрашивая не ту величину, которую ты нашёл. Быстрая проверка любого ответа на работу складывается из трёх пунктов:

• совместное время меньше, чем у самого быстрого работника в одиночку;
• доли работы всех участников в сумме дают единицу или весь названный объём;
• часы и минуты приведены к одной единице до уравнения, а не после.

Первый шаг — сегодня: реши задачу про бассейн из начала гайда двумя способами, через производительности и через уравнение, и сравни ответы. Уравнения подтягивай по урокам: дробные рациональные уравнения, к которым сводятся задачи на работу, разобраны в /algebra/8-klass/teorema-vieta/, а текстовые задачи всех сюжетов — в /algebra/11-klass/tekstovye-zadachi-ege/. Когда неизвестных два, выручает система уравнений из урока /algebra/7-klass/sistemy-uravnenij/. На ОГЭ такие задачи живут в задании 21 — разбор /oge/matematika/zadanie-21-oge-m21-tekstovaya-zadacha/, в профильном ЕГЭ это задание 8 — разбор /ege/matematika-profil/zadanie-8-tekstovye-zadachi-ege-prakticheskie/. Сестринская методика с той же таблицей величин — в гайде /guides/kak-reshat-zadachi-na-dvizhenie/, а привычки, которые режут арифметические ошибки в любой задаче, собраны в гайде /guides/kak-nauchitsya-reshat-zadachi-po-matematike/.