Сложение и вычитание десятичных дробей

Вот чек из магазина у дома: молоко — 84,90 р., батон — 32,50 р., сыр — 215,40 р. Кассир назвал сумму 332,80 р. Проверить это в уме трудно, а на бумаге — минута дела, если умеешь складывать десятичные дроби. Вычитание там же: дал кассиру 500 р. — сколько сдачи ждать? Этому и научимся: столбиком, быстро и без калькулятора.

Десятичная дробь — запись долей через запятую: $\frac{5}{10}=0,5$, $\frac{3}{100}=0,03$. Правило сложения короткое: запиши числа запятая под запятой, допиши нули до одинаковой длины и складывай как натуральные числа. Молоко и батон: $84,90+32,50=117,40$ р. По сути ты складываешь 8490 и 3250, а запятая стоит на месте — между рублями и копейками. Вычитание то же самое, только наоборот.

Копейки — тоже десятичные доли: рубль — это 100 копеек, значит 50 копеек — 0,5 рубля, а 5 копеек — 0,05. Чек читается как таблица разрядов: 332,80 — это 332 рубля 80 копеек, а 9,99 — девять рублей 99 копеек, а не «девять целых девяносто девять». Прикидка перед вычислением: молоко около 85, батон около 33, сыр около 215 — сумма около 333, и точный ответ 332,80 рядом. Если прикидка и точный расчёт разошлись вдвое — где-то потерялась запятая.

Где ещё понадобится: чеки, счётчики воды и электричества, время спортсменов. Водосчётчик показывает 12,450 кубометра — платишь за 12,45. Бегун пробежал стометровку за 13,8 секунды — десятичная дробь прямо на табло. Каждый раз та же идея: целая часть до запятой, доли после неё.

Про нули на конце: 84,90 и 84,9 — одно и то же число, ноль справа ничего не меняет. А вот 84,09 и 84,9 — разные: первый — 84 рубля 9 копеек, второй — 84 рубля 90 копеек. Разница в 81 копейку выросла из одного нуля. Поэтому в чеках и квитанциях нули после запятой не отбрасывают: 332,80 пишут именно так, чтобы разряды копеек были видны.

• Три шага столбика с запятой: запиши запятая под запятой
• Уравняй знаки после запятой: допиши нули справа
• Считай как обычные числа, запятую не двигай
• Проверь прикидкой до сотен и сложением после

Сложение десятичных дробей живёт и в спорте. Фигуристка получила 4,8 балла за технику и 4,65 за артистизм — судейская сумма 9,45. Плита весит 3,2 кг, а кастрюля 2,75 кг — вместе 5,95 кг. Складывай разряды: рубли с рублями, копейки с копейками, десятые с десятыми. Если в одном числе меньше знаков, допиши ноль — и столбик встанет ровно.

Большие чеки считаются так же. Покупки на 845,60 р., плюс доставка 199,90 р., плюс пакет 3,50 р. — складывай по очереди: 845,60 + 199,90 = 1045,50, да ещё 3,50 — 1049 р. ровно. Проверь прикидкой: 846 + 200 + 4 = 1050. Совпало с точностью до рубля. Никакой разницы с маленькими числами нет — только больше строк в столбике. А если в чеке акция «третий товар бесплатно» — вычитай самую дешёвую позицию: вот зачем сортировать покупки по цене.

Разбор типовой задачи

Посчитаем чек из начала урока целиком: молоко 84,90 р., батон 32,50 р., сыр 215,40 р. — и сдача с пятисот рублей.

Вычитание из целого: приём нулей

Из целого числа вычитать дробь удобно через нули: 10 − 3,45 превращается в 10,00 − 3,45 = 6,55. Нули справа ничего не меняют, зато разряды выравниваются. Прогоним ещё раз: 7 − 0,8 = 7,0 − 0,8 = 6,2, а 1 − 0,25 = 1,00 − 0,25 = 0,75. В каждом примере занимаем у целой части, как в обычном столбике с натуральными числами.

Особый случай — сдача с крупной купюры: 1000 − 748,50 = 251,50. Дописал два нуля — и вычитай спокойно. Если страшно запутаться в заёмах, считай в два шага: сначала до круглого числа, потом остаток. От 1000 до 750 — это 250, а от 750 до 748,50 — ещё 1,50, вместе 251,50. Оба пути законны, выбирай тот, что понятнее тебе.

Счётчик воды: считаем расход

На трубе у входа в квартиру висит счётчик воды, и раз в месяц из нового показания вычитают старое. В начале месяца он показывал 4280,125 кубометра, в конце — 4281,340. Расход: 4281,340 − 4280,125 = 1,215 кубометра. Прикидка перед вычитанием: числа почти равны, значит, расход около единицы — всё сходится.

То же вычитание считает топливо и температуру. В баке было 12,5 литра, стало 8,3 — потратили 4,2 литра. Утром было 21,5 градуса, днём 24,8 — потеплело на 3,3 градуса. Каждый раз запятая под запятой, разряд под разрядом. Умение проверить квитанцию и показания приборов самому — это не «взрослый» навык издалека, а обычный столбик из этого урока.

Складываем длины: сантиметры и метры вместе

Десятичные дроби живут и на рулетке. Шкаф шириной 84,5 см и тумба 32,25 см — поместятся ли рядом на стене длиной 120 см? Складываем: 84,50 + 32,25 = 116,75 см — влезают, остаётся 3,25 см. Нули здесь дописаны не для красоты: без них сантиметры склеились бы с миллиметрами. А если бы тумба была 35,50 см? 84,50 + 35,50 = 120 — впритык, ни сантиметра запаса.

Тот же вопрос — в состязаниях по прыжкам. Один спортсмен прыгнул на 5,72 м, другой на 5,9 м: кто дальше? Десятые решают: у второго девять десятых против семи — дальше второй, хотя запись 5,72 длиннее. Складывая и сравнивая длины, всегда держи разряды на виду — и рулетка, и секундомер расскажут о разнице ровно то, что есть.

Словарь урока

Целая часть#

Число слева от запятой: рубли, метры, килограммы.

Дробная часть#

Цифры справа от запятой: доли единицы — копейки, сантиметры, граммы.

Разряд#

Позиция цифры после запятой: первый — десятые, второй — сотые.

Запятая под запятой#

Условие столбика: разряды должны совпадать, нули дописываются справа.

Прикидка#

Грубый счёт до расчёта: округли цены и сложи — ответ не должен разойтись сильно.

Сдача#

Разность между купюрой и покупкой: проверяется сложением.

Как это спрашивают на контрольной

• Вычисли 7,8 + 2,35: допиши ноль — 7,80 + 2,35 = 10,15
• Вычисли 12 − 3,07: представь 12 как 12,00 — выйдет 8,93
• Покупка 156,40 р., у тебя 200 р. Сколько сдачи? 43,60 р.
• Сравни суммы, не считая: 5,6 + 3,2 или 5,6 + 3,8 — вторая больше
• Найди ошибку: 0,9 + 0,9 = 0,18 — верно 1,8, запятая не туда

В контрольных часто просят «вычисли удобным способом» или «проверь, верно ли равенство». Удобный способ — группировать целые части отдельно и доли отдельно: 2,7 + 3,3 — сразу видно, что доли дают ровно единицу, и сумма 6. Равенство проверяй вычитанием или прикидкой до целых. Ещё любят задания с нулями: допиши недостающие нули и реши — помни, что 4,5 = 4,50, и столбик от этого только ровнее.

Не всякая десятичная запись конечна: при делении столбиком цифры после запятой иногда начинают повторяться — это период. Найти период у дроби или проверить деление можно в калькуляторе периодической дроби /calc/periodic-drob/: он делит в столбик до повторения остатка и показывает непериодическую часть и период, а ещё переводит периодическую запись обратно в обыкновенную дробь.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема