Математика · 5 классурок · 2026-09-29~8 мин чтения

Умножение и деление натуральных чисел

Учимся умножать и делить натуральные числа: свойства умножения для устного счёта, деление с остатком и проверка результата обратным действием.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

27 конфет нужно разделить поровну на троих друзей, а на 500 рублей, которые дали родители, — купить каждому открытку по 35 рублей. Прибавлять по единице 27 раз или по 35 пять раз не хочется, да и незачем: обе задачи решаются умножением и делением. Это две самые быстрые операции арифметики — и самые ошибкоопасные, когда считаешь столбиком на скорость.

Умножаем, делим, проверяем

Умножить 27 на 3 — значит сложить три раза по 27: получится 81. Помогают свойства умножения. Переместительное: 3 · 27 = 27 · 3. Сочетательное: 25 · 7 · 4 = (25 · 4) · 7 = 700. Распределительное — король устного счёта: 49 · 6 = (50 − 1) · 6 = 300 − 6 = 294. Деление — обратная задача: 81 : 3 = 27, потому что 27 · 3 = 81. Но не всегда выходит нацело: 500 : 35 = 14 и остаток 10. Здесь четыре участника: делимое, делитель, неполное частное и остаток. Правило железное: остаток меньше делителя, иначе делить можно ещё. Разделил — проверь: 14 · 35 = 490, плюс остаток 10 — снова 500. Сошлось.

Случай	Правило	Пример
умножение на 1	$a \cdot 1 = a$	$57 \cdot 1 = 57$
умножение на 0	$a \cdot 0 = 0$	$0 \cdot 409 = 0$
деление на 1 и на себя	$a : 1 = a$ , $a : a = 1$	$35 : 1 = 35$ , $35 : 35 = 1$
умножение на 10	приписать ноль справа	$63 \cdot 10 = 630$
деление на ноль	невозможно	частного для $7 : 0$ не существует

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 5

Термины

Определения

Собери термины

Совет: перед игрой вспомни, как проверить деление умножением

Точка: 0

Прыжки по 7

Отметь, где окажешься после пяти прыжков по 7 от нуля

Тетрадь стоит 18 рублей, нужны семь штук и ещё блокнот за 45. Считаем: 18 · 7 = 126, да плюс 45 — итого 171 рубль. Семь раз прибавлять по 18 дольше и опаснее. Обратная задача: 96 конфет делят на 8 человек — по 12 каждому. Умножение собирает стоимость, деление раскладывает поровну. В спортзале те же числа: 30 приседаний на 3 подхода — 90 всего, а 150 секунд разминки на 6 человек — по 25 секунд. Два действия работают в паре повсюду: в магазине, на кухне, в расписании.

Деление с остатком встречается на каждом шагу. Пицца стоит 430 рублей, у компании 2000. Сколько пицц взять и сколько останется на сок? 2000 : 430 = 4 и остаток 280. Значит, четыре пиццы и 280 рублей на напитки. Пятая пицца в бюджет не влезает: остаток показывает, сколько денег не хватает до следующей целой покупки. Тот же расчёт с автобусами: 45 человек, в автобус влезает 30 — одного мало, а остаток 15 заставляет заказывать второй.

Делим 864 на 9 столбиком

Ищем первое неполное делимое: 8 меньше 9, берём сразу две цифры — 86.
86 : 9 = 9, потому что 9 · 9 = 81 — ближайшее снизу. Записываем 9 в частное, вычитаем: 86 − 81 = 5.
Сносим следующую цифру: получается 54.
54 : 9 = 6, остатка нет. Частное 96.
$96 \cdot 9 = 864$

c \cdot b + r = a

Деление с остатком: a — делимое, b — делитель, c — частное, r — остаток, причём r меньше b

Разложено: 0 из 6

Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.

Умножение или деление?

Кликни по карточке, затем по корзине.

Умножаем столбиком

Таблица умножения — фундамент, но столбик нужен для больших чисел. Умножаем 238 на 4: единицы 8 · 4 = 32, пишем 2, три в уме. Десятки: 3 · 4 = 12, плюс три — 15, пишем 5, один в уме. Сотни: 2 · 4 = 8, плюс один — 9. Ответ 952. Делим тем же столбиком в обратную сторону: 952 : 4 = 238. Одна и та же запись работает в обе стороны: умножение собирает число, деление разбирает его на части.

Умножение на двузначное число: собираем частями

Если второй множитель двузначный, столбик растёт на второй ряд — а логика остаётся распределительной. Умножим 34 на 26: разложим 26 на 20 и 6. Тогда 34 · 26 = 34 · 20 + 34 · 6 = 680 + 204 = 884. В столбике это выглядит как два ряда: сначала умножили на 6 и записали, потом на 2 (это десятки, поэтому результат сдвинут на разряд влево), а затем сложили ряды. Проверь себя умножением в обратную сторону: 884 : 26 = 34. Тот же приём спасает и с трёхзначными: 123 · 21 = 123 · 20 + 123 = 2460 + 123 = 2583.

Умножение на 11 и на 99: приёмы на скорость

Некоторые множители дают быстрый путь. На 11: умножь на 10 и прибавь само число — 11 · 45 = 450 + 45 = 495, а 11 · 27 = 270 + 27 = 297. На 99: умножь на 100 и отними число — 99 · 34 = 3400 − 34 = 3366. На 9 работает то же, но с умножением на 10: 9 · 46 = 460 − 46 = 414. Эти приёмы — не фокусы, а то же распределительное свойство, просто с удобным множителем рядом. На контрольной они экономят минуты, а при устном счёте делают тебя быстрее калькулятора соседа.

Остаток 12 при делителе 5 — признак ошибки: 12 больше 5, делим ещё.
Остаток 0 — значит разделилось нацело, остаток не пишем.
В ответе на вопрос «хватит ли» важен именно остаток: 280 рублей — это на сок, а не на пятую пиццу.

Умножение на 10 прибавляет ноль справа, а деление на 10 его отрезает — и не всегда ровно. 120 : 10 = 12, но 123 : 10 = 12 и остаток 3. Увидел в задаче «остаток отбрось» — проверь, о чём речь: отбрасывать можно конфеты, но не деньги из сдачи.

Деление с остатком в жизни

Остаток окружает нас чаще, чем кажется. Сто дней лета: сколько это недель? 100 : 7 = 14 и остаток 2 — четырнадцать полных недель и ещё два дня. Покупка конвертов: конверт стоит 12 рублей, у тебя 100 — 100 : 12 = 8 и остаток 4, значит, купишь 8 конвертов, и 4 рубля останется на марку. Обратная по смыслу задача — с округлением вверх: 84 школьника едут на экскурсию, в микроавтобусе 9 мест. Частное 9 и остаток 3, но оставить трёх человек на дороге нельзя — придётся заказать десятый автобус. Остаток один и тот же, а выводы противоположные: в задаче про деньги остаток — это сдача, а в задаче про людей — ещё один рейс.

Словарь урока

Множитель#: одно из чисел, которые перемножают
Произведение#: результат умножения
Делимое#: число, которое делят
Делитель#: число, на которое делят
Неполное частное#: наибольшее число, которое при умножении на делитель не перескакивает делимое
Остаток#: разность делимого и произведения частного на делитель; всегда меньше делителя

Разбор типового задания

Задание: раздели 173 на 5 с остатком и выполни проверку.
Ищем наибольшее число, которое при умножении на 5 не перескочит 173: 5 · 30 = 150 — мало, 5 · 34 = 170 — подходит.
Частное 34; вычитаем: 173 − 170 = 3 — это остаток.
Проверяем условие: 3 меньше 5 — деление закончено верно.
Проверка: 34 · 5 + 3 = 170 + 3 = 173 — сошлось. Ответ: частное 34, остаток 3.

Как это спрашивают на контрольной

В контрольных по этой теме четыре типовых сюжета. Первый — устный счёт: разложи множитель на удобные части и примени распределительное свойство. Второй — деление с остатком: найди частное и остаток, проверь, что остаток меньше делителя, и запиши проверку умножением. Третий — выбор действия в задаче: слова «всего», «стоимость всех» намекают на умножение, «по сколько каждому», «сколько нужно» — на деление. Четвёртый — округление по смыслу: реши, что делать с остатком в конкретной задаче. Полный ответ всегда включает проверку — без неё задание считается незаконченным.

«Вычисли удобным способом» — ищи пары 25 и 4, 50 и 2, 5 и 2
«Найди частное и остаток» — частное наибольшее снизу, остаток строго меньше делителя
«Выполни проверку» — частное · делитель (+ остаток) = делимое
«Выбери действие» — собираем равные части — умножение, раскладываем поровну — деление
«Хватит ли денег» — решает остаток, а не частное

Образец полного ответа на задачу «84 школьника едут на экскурсию, в микроавтобусе 9 мест; сколько нужно автобусов»: делим 84 на 9 — получается 9 и остаток 3, потому что 9 · 9 = 81, а 84 − 81 = 3. Остаток 3 меньше делителя 9, деление верно. Но по смыслу задачи трёх школьников нельзя оставить: частное 9 даёт места только для 81 человека. Значит, нужен десятый автобус. Ответ: 10 автобусов; проверка 9 · 9 + 3 = 84 подтверждает расчёт.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Вычисли: 25 · 4 · 6.

Чему равно неполное частное при делении 47 на 5?

Вычисли: 103 · 7.

Остаток при делении всегда меньше делителя.

Что больше?

Соедини термин с описанием.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Чем решать задачу?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни правило остатка.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Остаток всегда , чем делитель. Проверка: умножь частное на делитель и прибавь .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Как проверить деление умножением?

Умножь частное на делитель: получилось делимое — разделил верно. При делении с остатком проверка чуть длиннее: частное умножить на делитель и прибавить остаток.

Почему нельзя делить на ноль?

Деление — это поиск числа, которое при умножении на делитель даёт делимое. Ни одно число не умножается на 0, например, в семёрку, поэтому частного просто не существует.

Зачем нужно распределительное свойство умножения?

Чтобы считать в уме без столбика: 49 · 6 удобнее взять как 50 · 6 − 6. Это свойство связывает умножение со сложением и вычитанием.

Что такое неполное частное?

Это наибольшее число, которое при умножении на делитель не перескакивает делимое: при делении 47 на 5 это 9, потому что 5 · 9 = 45, а 5 · 10 уже даёт 50. Остаток — то, что не хватило до делимого: 47 − 45 = 2.