10 XP
ОГЭ · Математика · задание 252 балла · ≈18 мин

Задание 25 ОГЭ: Практическая геометрическая задача

Задание 25 собирает фигуру из нескольких объектов: окружность с касательной или вписанным углом, трапеция с высотой, комбинация треугольника и круга. Почти всегда спасает одно дополнительное построение: радиус в точку касания или высота в трапеции. Типовая потеря балла — забыть, что радиус перпендикулярен касательной, и не заметить прямоугольный треугольник, из которого всё считается.

Все задания Математика

Что проверяет задание

Планиметрия: окружности и трапеции. Это задание второй части — здесь нужен развёрнутый ответ с полным решением. Его проверяет эксперт, поэтому оформление и логика шагов так же важны, как сам ответ.

Формулы к заданию

Диаметр и радиус
Радиус перпендикулярен касательной в точке касания
Вписанный угол равен половине центрального
Площадь трапеции

Разбор типовых задач

Пример 1

К окружности с центром O проведена касательная AB в точке B. Найдите расстояние от точки A до центра окружности, если AB = 8, а радиус окружности равен 6.

Решение по шагам
  1. Дано: окружность с центром O, AB — касательная в точке B, AB = 8, OB = 6. Найти: расстояние AO.
  2. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник AOB прямоугольный с прямым углом B.
  3. По теореме Пифагора для треугольника AOB.
  4. Извлекаем корень: AO = 10. Расстояние от точки A до центра окружности равно 10.

Ответ: 10

Пример 2

В равнобедренной трапеции ABCD основания BC = 10 и AD = 20, боковая сторона AB = 13. Найдите высоту трапеции.

Решение по шагам
  1. Дано: равнобедренная трапеция ABCD, BC = 10, AD = 20, AB = 13. Найти: высоту BH.
  2. Проведём высоту BH к большему основанию. Отрезок AH равен полуразности оснований, так как трапеция равнобедренная.
  3. Треугольник ABH прямоугольный, BH — катет. По теореме Пифагора.
  4. Извлекаем корень: BH = 12.
  5. Высота трапеции равна 12; это ответ задачи.

Ответ: 12

Пример 3

Из точки A к окружности с центром O радиуса 7 проведены две касательные в точках B и C. Найдите длину отрезка AB, если расстояние от точки A до центра равно 25.

Решение по шагам
  1. Дано: окружность с центром O радиуса 7, AB — касательная, AO = 25. Найти: отрезок AB.
  2. Радиус OB перпендикулярен касательной AB, поэтому треугольник AOB прямоугольный с прямым углом B.
  3. По теореме Пифагора для треугольника AOB.
  4. Извлекаем корень: AB = 24. Касательные, проведённые из одной точки, равны, поэтому и AC = 24.

Ответ: 24

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 3. Найди гипотенузу этого треугольника. В ответе укажи число.

Вписанный угол ABC равен 66°. Найди центральный угол AOC, опирающийся на ту же дугу. В ответе укажи число градусов.

Средняя линия трапеции равна 10. Найди сумму длин оснований трапеции. В ответе укажи число.

В равнобедренной трапеции большее основание равно 8, меньшее основание равно 4, боковая сторона равна 8. Найди периметр трапеции. В ответе укажи число.

Какой угол образует касательная к окружности с радиусом, проведённым в точку касания?

Любая хорда окружности не длиннее её диаметра.

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 4. Найди гипотенузу этого треугольника. В ответе укажи число.

Вписанный угол ABC равен 36°. Найди центральный угол AOC, опирающийся на ту же дугу. В ответе укажи число градусов.

Типичные ошибки

  • Забывают, что радиус в точку касания перпендикулярен касательной, и не видят прямоугольный треугольник.
  • Путают вписанный и центральный углы и вместо удвоения делят угол пополам.
  • В трапеции вычитают основания целиком вместо полуразности и получают неверный катет.
  • Отвечают не на тот вопрос: дают радиус вместо диаметра или среднюю линию вместо суммы оснований.

Повторить теорию по математике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 25 на экзамене

Балл за задание: 2. Ориентир по времени: ≈18 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: планиметрия: окружности и трапеции. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 25

Какое дополнительное построение чаще всего спасает в задании 25?

Радиус в точку касания и высота в трапеции. Первое создаёт прямоугольный треугольник с касательной, второе — прямоугольный треугольник с боковой стороной и полуразностью оснований. Дальше работает теорема Пифагора.

Чем отличается вписанный угол от центрального?

Центральный угол имеет вершину в центре окружности и равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол стоит на окружности и равен половине той же дуги, то есть половине центрального угла над той же дугой.

Нужно ли в задании 25 рисовать чертёж в чистовике?

Чертёж нужен в черновике, в чистовике достаточно решения с обоснованиями. Но аккуратный рисунок помогает не потерять конфигурацию: на глаз легко принять диаметр за хорду или перепутать основания трапеции.

Похожие задания