10 XP
ОГЭ · Математика · задание 242 балла · ≈15 мин

Задание 24 ОГЭ: Геометрическая задача на доказательство

Задание 24 — чистое доказательство: равенство или подобие треугольников, свойства равнобедренного треугольника, отрезки и углы. Здесь оценивается логическая цепочка, а не вычисления. Типовая потеря балла — пропущенное звено: вертикальные углы или общую сторону считают очевидными и не упоминают, а без них признак равенства применён незаконно.

Все задания Математика

Что проверяет задание

Планиметрия: доказательства. Это задание второй части — здесь нужен развёрнутый ответ с полным решением. Его проверяет эксперт, поэтому оформление и логика шагов так же важны, как сам ответ.

Формулы к заданию

Вертикальные углы равны
Первый признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Запись подобия треугольников

Разбор типовых задач

Пример 1

Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что отрезки AB и CD равны.

Решение по шагам
  1. Дано: отрезки AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD. Доказать: AB = CD.
  2. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы AOB и COD вертикальные, а вертикальные углы равны.
  3. По условию AO = OC и BO = OD. Получаем: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого.
  4. По первому признаку равенства треугольников треугольники AOB и COD равны.
  5. В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому AB = CD, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано: AB = CD по первому признаку равенства треугольников.

Пример 2

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса BD. Докажите, что BD является медианой и высотой.

Решение по шагам
  1. Дано: треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, BD — биссектриса. Доказать: BD — медиана и высота.
  2. По условию AB = BC, а углы ABD и DBC равны, так как BD — биссектриса. Отрезок BD общий для треугольников ABD и CBD.
  3. Треугольники ABD и CBD равны по первому признаку: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого.
  4. Из равенства треугольников следует AD = DC, значит D — середина AC, и BD — медиана.
  5. Также из равенства следует, что углы BDA и BDC равны, а вместе они составляют развёрнутый угол. Поэтому каждый из них прямой, BD перпендикулярна AC и является высотой.

Ответ: Доказано: BD — медиана и высота.

Пример 3

На биссектрисе угла A отмечена точка D, а на сторонах этого угла — точки B и C так, что AB = AC. Докажите, что отрезки BD и DC равны.

Решение по шагам
  1. Дано: AD — биссектриса угла A, точки B и C лежат на сторонах угла, AB = AC. Доказать: BD = DC.
  2. Углы BAD и DAC равны, так как AD — биссектриса, а отрезок AD общий для треугольников ABD и ACD.
  3. Получаем: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого. По первому признаку равенства треугольники ABD и ACD равны.
  4. В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому BD = DC, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано: BD = DC по первому признаку равенства треугольников.

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 64°. Найди угол при вершине, противолежащей основанию. В ответе укажи число градусов.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12, основание равно 10. Найди периметр треугольника. В ответе укажи число.

Каждый из двух вертикальных углов равен 44°. Найди их сумму. В ответе укажи число градусов.

Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. AO = 5, BO = 7. Найди сумму длин отрезков AC и BD. В ответе укажи число.

По какому признаку равны треугольники ABD и CBD, если AB = CB, угол ABD равен углу CBD, а отрезок BD у них общий?

Если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого, то эти треугольники равны.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 66°. Найди угол при вершине, противолежащей основанию. В ответе укажи число градусов.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4, основание равно 9. Найди периметр треугольника. В ответе укажи число.

Типичные ошибки

  • Не упоминают вертикальные углы или общую сторону — без этих пар признак равенства применён незаконно.
  • Путают буквы в названиях треугольников и доказывают равенство не тех элементов.
  • Подменяют доказательство ссылкой на чертёж: «на рисунке видно» обоснованием не считается.
  • Применяют признак равенства там, где возможно только подобие, или наоборот.

Повторить теорию по математике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 24 на экзамене

Балл за задание: 2. Ориентир по времени: ≈15 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: планиметрия: доказательства. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 24

Чем доказательство в задании 24 отличается от вычисления в задании 23?

В задании 24 нужно установить факт и обосновать его цепочкой определений, свойств и признаков, обычно без чисел. В задании 23 центр решения — вычисление искомой величины. Критерий оценки один: каждое утверждение опирается на известную теорему или свойство.

Как быстро понять, какой признак равенства применять?

Считай пары элементов: сторона и два прилежащих угла — второй признак, две стороны и угол между ними — первый, три стороны — третий. Если пар не хватает, добавь «автоматические» равенства: вертикальные углы, общая сторона, углы при основании равнобедренного треугольника.

Можно ли в задании 24 использовать подобие вместо равенства?

Да, если это продиктовано условием: подобие с коэффициентом 1 даёт равенство. Главное — явно назвать признак подобия или равенства и сделать вывод о требуемых отрезках или углах.

Похожие задания