Графы и деревья в задачах — тренажёр
Тренировка по теме «Графы и деревья в задачах»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 На схеме метро отмечено 4 станций и 7 перегонов между ними. Сколько всего элементов нарисовано на схеме?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
17 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. На схеме метро отмечено 7 станций и 5 перегонов между ними. Сколько всего элементов нарисовано на схеме?
Подсказка. Станции плюс перегоны.
Как решать. Складываем вершины и рёбра схемы: 7 + 5.
Ответ: 12
Пример 2. В столовой к завтраку есть 2 напитков и 6 булочек. Сколько разных завтраков из одного напитка и одной булочки?
Подсказка. Каждый напиток сочетается с каждой булочкой.
Как решать. Правило умножения: 2 · 6.
Ответ: 12
Пример 3. В футбольном турнире 9 команд, каждая играет с каждой дважды: дома и в гостях. Сколько матчей в турнире?
Подсказка. Порядок важен — делить на два не нужно.
Как решать. Каждая из 9 команд принимает 9-1 гостя, домашний и гостевой матч различаются: 9 · (9-1).
Ответ: 72
Пример 4. В классе 8 девочек и 8 мальчиков. Каждый ученик пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?
Подсказка. Сложи девочек и мальчиков, потом примени n·(n-1):2.
Как решать. Всего 2·8 учеников, каждый жмёт 2·8-1 руку, двойной счёт делим пополам: 2·8·(2·8-1):2 = 8·(2·8-1).
Ответ: 120
Пример 5. На схеме метро отмечено 4 станций и 8 перегонов между ними. Сколько всего элементов нарисовано на схеме?
Подсказка. Станции плюс перегоны.
Как решать. Складываем вершины и рёбра схемы: 4 + 8.
Ответ: 12
Пример 6. В столовой к завтраку есть 5 напитков и 7 булочек. Сколько разных завтраков из одного напитка и одной булочки?
Подсказка. Каждый напиток сочетается с каждой булочкой.
Как решать. Правило умножения: 5 · 7.
Ответ: 35
Пример 7. В футбольном турнире 6 команд, каждая играет с каждой дважды: дома и в гостях. Сколько матчей в турнире?
Подсказка. Порядок важен — делить на два не нужно.
Как решать. Каждая из 6 команд принимает 6-1 гостя, домашний и гостевой матч различаются: 6 · (6-1).
Ответ: 30
Пример 8. В классе 6 девочек и 6 мальчиков. Каждый ученик пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?
Подсказка. Сложи девочек и мальчиков, потом примени n·(n-1):2.
Как решать. Всего 2·6 учеников, каждый жмёт 2·6-1 руку, двойной счёт делим пополам: 2·6·(2·6-1):2 = 6·(2·6-1).
Ответ: 66
Пример 9. На схеме метро отмечено 6 станций и 7 перегонов между ними. Сколько всего элементов нарисовано на схеме?
Подсказка. Станции плюс перегоны.
Как решать. Складываем вершины и рёбра схемы: 6 + 7.
Ответ: 13
Пример 10. В столовой к завтраку есть 4 напитков и 4 булочек. Сколько разных завтраков из одного напитка и одной булочки?
Подсказка. Каждый напиток сочетается с каждой булочкой.
Как решать. Правило умножения: 4 · 4.
Ответ: 16
Пример 11. На схеме метро отмечено 8 станций и 4 перегонов между ними. Сколько всего элементов нарисовано на схеме?
Подсказка. Станции плюс перегоны.
Как решать. Складываем вершины и рёбра схемы: 8 + 4.
Ответ: 12
Пример 12. В столовой к завтраку есть 6 напитков и 7 булочек. Сколько разных завтраков из одного напитка и одной булочки?
Подсказка. Каждый напиток сочетается с каждой булочкой.
Как решать. Правило умножения: 6 · 7.
Ответ: 42
Пример 13. В футбольном турнире 11 команд, каждая играет с каждой дважды: дома и в гостях. Сколько матчей в турнире?
Подсказка. Порядок важен — делить на два не нужно.
Как решать. Каждая из 11 команд принимает 11-1 гостя, домашний и гостевой матч различаются: 11 · (11-1).
Ответ: 110
Пример 14. В классе 4 девочек и 4 мальчиков. Каждый ученик пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?
Подсказка. Сложи девочек и мальчиков, потом примени n·(n-1):2.
Как решать. Всего 2·4 учеников, каждый жмёт 2·4-1 руку, двойной счёт делим пополам: 2·4·(2·4-1):2 = 4·(2·4-1).
Ответ: 28
Пример 15. На схеме метро отмечено 7 станций и 4 перегонов между ними. Сколько всего элементов нарисовано на схеме?
Подсказка. Станции плюс перегоны.
Как решать. Складываем вершины и рёбра схемы: 7 + 4.
Ответ: 11
Пример 16. В столовой к завтраку есть 6 напитков и 6 булочек. Сколько разных завтраков из одного напитка и одной булочки?
Подсказка. Каждый напиток сочетается с каждой булочкой.
Как решать. Правило умножения: 6 · 6.
Ответ: 36
Пример 17. В футбольном турнире 5 команд, каждая играет с каждой дважды: дома и в гостях. Сколько матчей в турнире?
Подсказка. Порядок важен — делить на два не нужно.
Как решать. Каждая из 5 команд принимает 5-1 гостя, домашний и гостевой матч различаются: 5 · (5-1).
Ответ: 20
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Графы и деревья в задачах» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Сколько разных завтраков можно составить из 4 напитков и 5 булочек (один напиток плюс одна булочка)?
Ответ: 20
Пояснение. Правило умножения: 4 · 5 = 20 комбинаций.
Вопрос 2. В классе 25 учеников, и каждый пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?
Ответ: 300
Пояснение. Каждый жмёт 24 руки, двойной счёт убираем делением: 25 · 24 : 2 = 300.
Вопрос 3. В чемпионате из 8 команд, где каждая играет с каждой дома и в гостях, будет 56 матчей.
Ответ: Верно
Пояснение. Домашний матч и гостевой различаются, делить пополам не нужно: 8 · 7 = 56.
Вопрос 4. Что защищает перебор от ошибок? Выбери все верные утверждения.
Ответ: на каждом уровне перечислены все возможные выборы; число листьев проверяют умножением
Пояснение. Система перечисления и проверка умножением — два кита честного перебора; случайный порядок и пропуски ведут к потере вариантов.
Вопрос 5. Расставь шаги построения дерева вариантов по порядку.
Ответ: нарисовать корень задачи → перечислить все первые выборы → из каждой ветки дорисовать все вторые выборы → посчитать листья и проверить умножением
Пояснение. Корень, первые выборы, затем вторые — и в конце проверка: листья обязаны дать произведение.
Вопрос 6. Соедини задачу и её ответ.
Пояснение. Первые две задачи решаются умножением выборов, третья — парами пополам, четвёртая — направленными матчами.
Вопрос 7. Разложи подсчёты по правилам.
Пояснение. Последовательные выборы перемножаются, независимые случаи складываются, пары без порядка делятся пополам.