Геометрическая вероятность: площадь вместо подсчёта
Геометрическая вероятность: дротик в мишень, точка в квадрате с кругом и ожидание автобуса. Считаем шанс как отношение площадей и длин.
Тир перед закрытием: остался последний дротик, а на кону приз за попадание в яблочко. Ты примеряешься и бросаешь — дротик втыкается в какую-то точку круга. Каким был шанс попасть точно в центр? Классическая формула m/n спотыкается на первом шаге: точек в круге бесконечно много, их не пересчитать и не разложить по клеткам таблицы. Тот же вопрос стоит про каплю краски, упавшую на паркет, про пассажира, пришедшего на остановку в случайный момент, про стрелку волчка. Для таких опытов вероятность меряют не количеством исходов, а размером фигур.
Разберёмся, почему старая схема не работает. Исходом опыта «дротик и мишень» считается точка попадания, а точек в круге несчётное множество: между любыми двумя найдётся третья. Формула P = m/n требовала конечного списка равновозможных исходов — значит, нужен новый способ сравнивать шансы. Идея простая: если точка падает наудачу, у большей фигуры больше возможностей её поймать. Шанс должен быть пропорционален не количеству точек, а мере фигуры — длине на отрезке или площади на плоскости.
Меряем не количество, а площадь
Начни с клетчатой бумаги — там всё видно. Квадрат 4 на 4 разбит на 16 одинаковых клеток, и брошенная наудачу точка попадает в каждую с равными правами. Закрашено 4 клетки: шанс попасть в закрашенную часть равен 4/16 = 1/4 — ровно как в классической схеме, только вместо счёта исходов мы сравнили площади. Теперь сотри сетку — и ничего не изменится: закрашенная фигура занимает четверть квадрата, значит, и шанс равен четверти. Вероятность перешла от подсчёта клеток к измерению.
Формула требует двух условий. Первое: точка падает наудачу, без любимых мест — дротик, прилипающий к краю, схему ломает. Второе: благоприятная фигура лежит внутри всей, чтобы площади сравнивались честно. Если фигура вылезает за рамку, считай только общую часть или выбирай рамку побольше. Оба условия в школьных задачах выполняются почти всегда, но проверка занимает секунду и спасает от путаницы.
| Опыт | Вся фигура | Благоприятная часть | Вероятность |
|---|---|---|---|
| точка в квадрате 4 на 4, закрашено 4 клетки | 16 клеток | 4 клетки | 4/16 = 1/4 |
| точка в квадрате 10 на 10, внутри квадрат 5 на 5 | 100 | 25 | 25/100 = 1/4 |
| капля на балконе 2 м на 3 м, коврик 1 м на 2 м | 6 м² | 2 м² | 2/6 = 1/3 |
| точка на нити длиной 20 см, участок 5 см | 20 см | 5 см | 5/20 = 1/4 |
Дротик и мишень: круги, кольца и квадраты радиусов
Круглая мишень радиуса 20 см, яблочко — круг радиуса 4 см в центре. Площади: вся мишень 400π см², яблочко 16π см². Вероятность 16π/400π = 16/400 = 0,04 — четыре процента. Заметь: π появилось и сверху, и снизу, поэтому сократилось. Отношение площадей кругов равно отношению квадратов радиусов — именно квадратов: (4/20)² = 1/25. Так что для кругов достаточно поделить радиусы и возвести дробь в квадрат, рисовать ничего не обязательно.
- Мишень радиуса 20 см; кольцо между окружностями радиусов 4 см и 10 см. Событие: дротик попал в это кольцо.
- Площадь внешнего круга: π · 10² = 100π. Площадь яблочка: π · 4² = 16π.
- Площадь кольца — разность: 100π − 16π = 84π.
- Делю площадь кольца на площадь мишени.
- Двадцать один процент: кольцо занимает чуть больше пятой части мишени.
Квадраты радиусов — главный лайфхак круговых задач. Попадание в круг половинного радиуса даёт (1/2)² = 1/4 площади, а не половину. Увеличишь радиус яблочка втрое — шанс вырастет в девять раз. Поэтому нарисованная от руки мишень обманывает глаз: маленький центр выглядит крошечным, а его доля по площади может оказаться ощутимой. Всегда доводи расчёт до отношения площадей, а не радиусов.
В квадрате 10 на 10 лежит круг радиуса 3. Сколько процентов площади квадрата занимает круг? Выдвини оценку и проверь.
Считаем точно. Площадь круга: π · 3² = 9π ≈ 28,27. Площадь квадрата 100. Доля 9π/100 ≈ 0,283 — около 28 процентов. Круг выглядит солидным, но занимает меньше трети квадрата: углы остаются пустыми, и глазомер их не учитывает. Тот же приём работает для любых вложенных фигур — треугольник в прямоугольнике, эллипс в круге: дели площади. Даже диагональ, режущая квадрат на два равных треугольника, мгновенно даёт по 1/2 на каждую половину.
Автобусный интервал: вероятность по длине отрезка
Геометрическая вероятность бывает не только плоской. Автобус ходит строго раз в 10 минут, а ты приходишь на остановку в случайный момент. Твоё время ожидания — точка на отрезке от 0 до 10 минут, и все точки равноправны. Благоприятная фигура — кусок отрезка: ждать больше 7 минут означает попасть в последние 3 минуты интервала, шанс 3/10. Площадей нет — сравниваем длины. Эта же схема решает задачи про лифты, очереди и случайные встречи.
| Вопрос про 10-минутный интервал | Подходящая длина | Вероятность |
|---|---|---|
| ждать больше 7 минут | 3 минуты | 3/10 = 0,3 |
| ждать меньше 4 минут | 4 минуты | 4/10 = 0,4 |
| ждать от 2 до 5 минут | 3 минуты | 3/10 = 0,3 |
| ждать ровно 5 минут | 0 минут | 0 |
- Автобус приходит раз в 10 минут; ты пришёл наудачу. Событие: ждать от 2 до 5 минут.
- Рисую отрезок от 0 до 10: каждая точка — возможное время ожидания.
- Благоприятный кусок — от 2 до 5, его длина 5 − 2 = 3 минуты.
- Делю подходящую длину на всю.
- Три шанса из десяти. Если бы интервал был час, доля не изменилась: важно отношение длин.
Обратная задача встречается не реже прямой. Пятно краски упало наудачу на пол 4 м на 5 м; ковёр занимает 6 м². Шанс, что пятно на ковре, — 6/20 = 0,3. А если известно, что шанс попасть в квадратную салфетку на этом полу равен 0,2, то её площадь 4 м², сторона 2 м. Обрати внимание на ход: вероятность переводится в площадь, площадь — в размер фигуры. Так решаются задачи, где по известному шансу спрашивают сторону, длину или радиус.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Геометрическая вероятность — это отношение благоприятной фигуры к площади всей фигуры. Площадь круга радиуса r равна . Шанс попасть в кусок отрезка длиной 3 из отрезка длиной 10 равен .
Банк слов
- Геометрическая вероятность#
- отношение меры благоприятной фигуры к мере всей: площадей или длин
- Мера#
- размер фигуры: длина на отрезке, площадь на плоскости
- Благоприятная фигура#
- та часть всей фигуры, попадание в которую засчитывается событию
- Отношение квадратов радиусов#
- доля площади одного круга в другом: (r/R)²
- Кольцо#
- часть круга между двумя окружностями; площадь — разность площадей кругов
Геометрическая вероятность закрывает опыты, где исход нельзя пересчитать: мишень в тире, пятно на паркете, интервал автобуса. Метод один — отношение мер, и он продолжает классическую дробь m/n: количество клеток заменилось площадью, а деление осталось. Дальше по курсу события станут независимыми и зависимыми, а потом появится средний выигрыш — но везде под капотом будет та же идея доли. Попробуй прикинуть на глаз пять-шесть картинок до расчёта: глазомер, подкреплённый формулой, ошибается редко.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Точку бросают наудачу в квадрат 8 на 8, внутри него лежит квадрат 2 на 2 со сторонами, параллельными сторонам большого. Какова вероятность попасть в маленький квадрат?
2 Какие опыты описываются геометрической вероятностью?
3 Автобус подходит в случайный момент 10-минутного интервала. Найди вероятность (десятичной дробью) того, что ждать осталось меньше 3 минут.
4 В геометрической схеме вероятность находят делением площади или длины, а не подсчётом исходов.
5 Расставь события по возрастанию вероятности.
6 Соедини ситуацию с её вероятностью.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи ситуации по способу подсчёта.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Почему вероятность попасть точно в линию равна нулю?
У линии и окружности площадь равна нулю, а в геометрической схеме шанс равен доле площади. Поэтому событие «попасть точно на границу» не меняет расчёт: дробь для круга и для круга без границы одна и та же.
Что делать, если благоприятная фигура не помещается целиком в большую?
Считать можно только общую часть: площадь фигуры внутри рамки делят на площадь рамки. Если фигура вылезает за границу, либо обрезай её по рамке, либо выбирай рамку так, чтобы всё уместилось.
Как посчитать вероятность попадания в кольцо между двумя окружностями?
Найди площадь внешнего круга и площадь внутреннего, вычти меньшую из большей и раздели на площадь всей мишени. Для кругов удобно сокращать π и работать с квадратами радиусов.
Чем геометрическая вероятность отличается от классической?
Классическая формула m/n требует конечного числа равновозможных исходов. В геометрической схеме исходов бесконечно много, поэтому вместо счёта сравнивают площади фигур или длины отрезков.