Геометрическая вероятность: площадь вместо подсчёта — тренажёр
Тренировка по теме «Геометрическая вероятность: площадь вместо подсчёта»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Внутри квадрата 10 на 10 закрашен меньший квадрат со стороной 3. Точку бросают наудачу в большой квадрат. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка попадёт в закрашенный квадрат?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
15 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Внутри квадрата 10 на 10 закрашен меньший квадрат со стороной 6. Точку бросают наудачу в большой квадрат. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка попадёт в закрашенный квадрат?
Подсказка. Площадь маленького квадрата — сторона во второй степени.
Как решать. Доля площади закрашенного квадрата: (6 · 6) : 100. В процентах это то же число: 6 · 6.
Ответ: 36
Пример 2. Автобус подходит в случайный момент внутри 10-минутного интервала. Сколько процентов составляет вероятность того, что ждать придётся больше 1 минут?
Подсказка. Доля отрезка — длина подходящего куска, делённая на всю длину.
Как решать. Благоприятная часть отрезка имеет длину 10 − 1 минут из 10: доля (10 − 1)/10, а в процентах — (10 − 1) · 10.
Ответ: 90
Пример 3. Муравей ползёт по соломинке длиной 20 см и останавливается наудачу. Сколько процентов составляет вероятность того, что он остановится не дальше 6 см от середины соломинки?
Подсказка. Посчитай длину куска вокруг середины и раздели на 20.
Как решать. Подходящий кусок тянется по 6 см в обе стороны от середины: длина 2 · 6 см из 20. Доля (2 · 6)/20, в процентах — 6 · 10.
Ответ: 60
Пример 4. Внутри квадрата 10 на 10 лежит квадрат со стороной 7. Точку бросают наудачу. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка окажется вне маленького квадрата?
Подсказка. Сначала найди вероятность попадания внутрь, потом вычти её из 100.
Как решать. Внутри маленького квадрата — 7 · 7 клеток из 100. Вне его — остальные: 100 − 7 · 7 процентов.
Ответ: 51
Пример 5. Внутри квадрата 10 на 10 закрашен меньший квадрат со стороной 2. Точку бросают наудачу в большой квадрат. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка попадёт в закрашенный квадрат?
Подсказка. Площадь маленького квадрата — сторона во второй степени.
Как решать. Доля площади закрашенного квадрата: (2 · 2) : 100. В процентах это то же число: 2 · 2.
Ответ: 4
Пример 6. Автобус подходит в случайный момент внутри 10-минутного интервала. Сколько процентов составляет вероятность того, что ждать придётся больше 7 минут?
Подсказка. Доля отрезка — длина подходящего куска, делённая на всю длину.
Как решать. Благоприятная часть отрезка имеет длину 10 − 7 минут из 10: доля (10 − 7)/10, а в процентах — (10 − 7) · 10.
Ответ: 30
Пример 7. Муравей ползёт по соломинке длиной 20 см и останавливается наудачу. Сколько процентов составляет вероятность того, что он остановится не дальше 2 см от середины соломинки?
Подсказка. Посчитай длину куска вокруг середины и раздели на 20.
Как решать. Подходящий кусок тянется по 2 см в обе стороны от середины: длина 2 · 2 см из 20. Доля (2 · 2)/20, в процентах — 2 · 10.
Ответ: 20
Пример 8. Внутри квадрата 10 на 10 лежит квадрат со стороной 5. Точку бросают наудачу. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка окажется вне маленького квадрата?
Подсказка. Сначала найди вероятность попадания внутрь, потом вычти её из 100.
Как решать. Внутри маленького квадрата — 5 · 5 клеток из 100. Вне его — остальные: 100 − 5 · 5 процентов.
Ответ: 75
Пример 9. Внутри квадрата 10 на 10 закрашен меньший квадрат со стороной 5. Точку бросают наудачу в большой квадрат. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка попадёт в закрашенный квадрат?
Подсказка. Площадь маленького квадрата — сторона во второй степени.
Как решать. Доля площади закрашенного квадрата: (5 · 5) : 100. В процентах это то же число: 5 · 5.
Ответ: 25
Пример 10. Автобус подходит в случайный момент внутри 10-минутного интервала. Сколько процентов составляет вероятность того, что ждать придётся больше 5 минут?
Подсказка. Доля отрезка — длина подходящего куска, делённая на всю длину.
Как решать. Благоприятная часть отрезка имеет длину 10 − 5 минут из 10: доля (10 − 5)/10, а в процентах — (10 − 5) · 10.
Ответ: 50
Пример 11. Внутри квадрата 10 на 10 закрашен меньший квадрат со стороной 7. Точку бросают наудачу в большой квадрат. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка попадёт в закрашенный квадрат?
Подсказка. Площадь маленького квадрата — сторона во второй степени.
Как решать. Доля площади закрашенного квадрата: (7 · 7) : 100. В процентах это то же число: 7 · 7.
Ответ: 49
Пример 12. Автобус подходит в случайный момент внутри 10-минутного интервала. Сколько процентов составляет вероятность того, что ждать придётся больше 8 минут?
Подсказка. Доля отрезка — длина подходящего куска, делённая на всю длину.
Как решать. Благоприятная часть отрезка имеет длину 10 − 8 минут из 10: доля (10 − 8)/10, а в процентах — (10 − 8) · 10.
Ответ: 20
Пример 13. Муравей ползёт по соломинке длиной 20 см и останавливается наудачу. Сколько процентов составляет вероятность того, что он остановится не дальше 7 см от середины соломинки?
Подсказка. Посчитай длину куска вокруг середины и раздели на 20.
Как решать. Подходящий кусок тянется по 7 см в обе стороны от середины: длина 2 · 7 см из 20. Доля (2 · 7)/20, в процентах — 7 · 10.
Ответ: 70
Пример 14. Внутри квадрата 10 на 10 лежит квадрат со стороной 2. Точку бросают наудачу. Сколько процентов составляет вероятность того, что точка окажется вне маленького квадрата?
Подсказка. Сначала найди вероятность попадания внутрь, потом вычти её из 100.
Как решать. Внутри маленького квадрата — 2 · 2 клеток из 100. Вне его — остальные: 100 − 2 · 2 процентов.
Ответ: 96
Пример 15. Автобус подходит в случайный момент внутри 10-минутного интервала. Сколько процентов составляет вероятность того, что ждать придётся больше 9 минут?
Подсказка. Доля отрезка — длина подходящего куска, делённая на всю длину.
Как решать. Благоприятная часть отрезка имеет длину 10 − 9 минут из 10: доля (10 − 9)/10, а в процентах — (10 − 9) · 10.
Ответ: 10
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Геометрическая вероятность: площадь вместо подсчёта» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Точку бросают наудачу в квадрат 8 на 8, внутри него лежит квадрат 2 на 2 со сторонами, параллельными сторонам большого. Какова вероятность попасть в маленький квадрат?
Ответ: 1/16
Пояснение. Площади: 2 · 2 = 4 и 8 · 8 = 64. Доля 4/64 = 1/16.
Вопрос 2. Какие опыты описываются геометрической вероятностью?
Ответ: дротик брошен наудачу в круглую мишень; автобус подходит в случайный момент 10-минутного интервала
Пояснение. Геометрическая схема нужна, когда исход — точка в фигуре или на отрезке: мишень и интервал подходят. У кубика и мешка исходов конечное число — это классическая схема.
Вопрос 3. Автобус подходит в случайный момент 10-минутного интервала. Найди вероятность (десятичной дробью) того, что ждать осталось меньше 3 минут.
Ответ: 0,3
Пояснение. Подходящая часть отрезка — первые 3 минуты из 10: доля 3/10 = 0,3.
Вопрос 4. В геометрической схеме вероятность находят делением площади или длины, а не подсчётом исходов.
Ответ: Верно
Пояснение. Исходов бесконечно много, поэтому считают долю площади или длины благоприятной фигуры.
Вопрос 5. Расставь события по возрастанию вероятности.
Ответ: яблочко радиуса 2 в мишени радиуса 20 → круг радиуса 3 в квадрате 10 на 10 → квадрат 5 на 5 в квадрате 10 на 10 → ждать не дольше 5 минут при 10-минутном интервале
Пояснение. Шансы: (2/20)² = 0,01; 25/100 = 0,25; 9π/100 ≈ 0,283; 5/10 = 0,5.
Вопрос 6. Соедини ситуацию с её вероятностью.
Пояснение. Делим площади или длины: 25π/100 = π/4 ≈ 0,79; 16/64 = 1/4; 6/10 = 0,6; (4/20)² = 0,04.
Вопрос 7. Разложи ситуации по способу подсчёта.
Пояснение. Мишень, паркет и квадрат — площади; интервалы автобуса и лифта и точка на нити — длины.