Математическое ожидание и риск
Математическое ожидание — средний итог длинной серии: таблица выигрышей, честная игра, отрицательное ожидание лотереи и риск страховки.
Киоск у школы продаёт лотерейные билеты по 100 рублей. На обороте напечатаны шансы: 500 рублей выпадают с шансом 0,02, 100 рублей — с шансом 0,1, остальные билеты пустые. Стоит ли менять сотню на лотерею? Каждый отдельный билет — чистая случайность, но у случайности есть средний ход: можно посчитать, сколько приносит билет в среднем. Это число называется математическим ожиданием, и оно отвечает на вопрос про сотню точнее любого ощущения.
Сначала мысленный эксперимент. Представь, что ты купил 100 билетов. По шансам примерно 2 билета принесут по 500 рублей и 10 билетов — по 100: это 1000 + 1000 = 2000 рублей с сотни билетов. На один билет выходит 2000 : 100 = 20 рублей среднего выигрыша. Платил ты за каждый 100 рублей, значит, в среднем теряешь 80 рублей за билет. Ни одна конкретная сотня билетов не обязана повторить этот расклад, но на длинной серии среднее упрётся именно в эти числа.
Математическое ожидание: средний итог длинной серии
Пусть опыт имеет числовые исходы — выигрыши, очки, суммы, — и каждому известна вероятность. Математическое ожидание — сумма произведений: каждый исход умножаем на его вероятность и складываем. Смысл — взвешенное среднее: частые исходы весят больше, редкие — меньше. Ожидание отвечает на вопрос «сколько в среднем за опыт?» и не обещает ничего про один конкретный опыт: это прогноз по огромной серии повторов.
Разбери пример без денег. Бросаем кубик и спрашиваем среднее число очков. Вклады: 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/6 + 6 · 1/6 = 21/6 = 3,5. Средний бросок кубика — три с половиной очка, хотя грани с 3,5 не существует. Ожидание не обязано совпадать с возможным исходом: это центр тяжести серии, а не её самый частый гость. По 600 броскам среднее тоже окажется около 3,5: примерно по 100 выпадений каждой грани дают около 2100 очков на 600 бросков.
| Исход билета | Выигрыш | Вероятность | Вклад в ожидание |
|---|---|---|---|
| выпал крупный приз | 500 р | 0,02 | 500 · 0,02 = 10 р |
| выпал малый приз | 100 р | 0,1 | 100 · 0,1 = 10 р |
| билет пустой | 0 р | 0,88 | 0 р |
| проверка: сумма шансов | 0,02 + 0,1 + 0,88 = 1 | ||
| итог: ожидание выигрыша | E = 20 р |
- Выписываю исходы-числа: 500, 100 и 0 рублей — и их вероятности 0,02; 0,1; 0,88.
- Проверяю, что шансы собираются в единицу: 0,02 + 0,1 + 0,88 = 1. Без этой проверки таблица не годится.
- Умножаю каждый исход на его вероятность и складываю.
- Ожидание выигрыша — 20 рублей: столько приносит билет в среднем.
- Сравниваю с ценой билета 100 р: средний итог −80 р, лотерея против игрока.
Отсюда определение честной игры. Игра честная, если ожидание итога — выигрыша минус ставки — равно нулю: в среднем никто не богатеет. Подбросим монету: орёл — получаешь 100 рублей, решка — отдаёшь 100. Ожидание итога 100 · 1/2 − 100 · 1/2 = 0 — игра честная. А если за право броска платишь 10 рублей, ожидание проваливается до −10: монета с входным билетом — уже не честная игра.
Почему лотерея всегда против игрока
Добавим к ожиданию выигрыша цену билета: 20 − 100 = −80 рублей — ожидание итога. Отрицательное ожидание — математический язык фразы «казино всегда в плюсе». У организатора та же арифметика с обратным знаком: с каждого билета в среднем +80 рублей. Призовой фонд лишь малая часть сбора, поэтому чем крупнее обещанный приз, тем меньше шанс его поймать — баланс держится на ожидании.
Масштаб делает картину жёсткой. Миллион билетов по 100 рублей — сбор 100 миллионов рублей. Средние выплаты: 20 миллионов. Разница в 80 миллионов — ожидаемая прибыль организатора, и она тем стабильнее, чем больше продано билетов: качели отдельных выигрышей гасятся на объёме. Игрок противостоит этой арифметике в одиночку, поэтому «раскрутить» лотерею серией покупок нельзя: каждый лишний билет добавляет тот же минус.
Билет приносит 200 р с шансом 0,25 и 60 р с шансом 0,5, остальные пустые. Каков ожидаемый выигрыш в рублях? Выдвини оценку и проверь.
Риск, страховка и выбор
Ожидание — инструмент не только для игр. Страхование простыми словами: ты платишь компании небольшую сумму — премию, — а она обещает крупную выплату, если случится беда. Телефон за 40 000 р ломается с шансом 0,1 за год. Средняя выплата по такому случаю 40 000 · 0,1 = 4000 р. Если полис стоит 5000 р, компания в среднем зарабатывает 1000 р с полиса — её ожидание положительное. Зачем же покупать? Ты платишь не за средний плюс, а за защиту от редкого, но тяжёлого удара: минус 40 000 разом больнее, чем 5000 по чуть-чуть.
- Телефон стоит 40 000 р, вероятность поломки за год 0,1, полис — 5000 р.
- Средняя выплата компании на один полис: 40 000 · 0,1 = 4000 р.
- Считаю среднюю прибыль компании.
- Компания в плюсе в среднем, а ты покупаешь спокойствие: крупный убыток переложен на неё.
- Решение о страховке — про риск, а не про ожидание: иногда разумно переплатить в среднем.
Почему же среднее по серии так упорно совпадает с ожиданием? Каждая игра качает итог вверх и вниз, но при сотнях повторов плюсы и минусы уравновешиваются, и средний результат прижимается к ожиданию всё плотнее. На этом держится вся индустрия риска: страховщик не знает, у кого именно сломается телефон, но точно знает среднюю долю поломок по тысячам полисов. Для тебя вывод скромнее: одна игра — лотерея в бытовом смысле, длинная серия — почти точная арифметика ожидания.
| Игра | Расчёт | Ожидание итога |
|---|---|---|
| монета: орёл +100 р, решка −100 р | 100 · 1/2 − 100 · 1/2 | 0 — честная |
| билет за 100 р со средним призом 20 р | 20 − 100 | −80 р |
| платишь 10 р, получаешь число очков кубика в рублях | 3,5 − 10 | −6,5 р |
| платишь 20 р; с шансом 1/2 получаешь 60 р | 60 · 1/2 − 20 | +10 р |
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Математическое ожидание — сумма произведений каждого исхода на его . У честной игры ожидание итога равно . В лотереях ожидание игрока обычно . Страховая премия — это за полис.
Банк слов
- Ожидание#
- средний итог опыта по большой серии: сумма произведений значений на вероятности
- Честная игра#
- игра с нулевым ожиданием итога: в среднем не выигрывает никто
- Страховая премия#
- сумма, которую платят за полис
- Риск#
- возможность редкого, но крупного убытка
- Вклад в ожидание#
- произведение исхода на его вероятность; вклады складываются
Математическое ожидание переводит «повезёт — не повезёт» в число: сколько приносит опыт в среднем. Лотерейный билет с ожиданием −80 честно признаётся плохой покупкой, честная игра стоит ровно столько, сколько даёт в среднем, а страховка продаёт защиту от редкого удара. Вместе с дробью m/n, деревьями и площадями это последний инструмент курса вероятности: шанс одного события и цена всей игры теперь считаются. Прогони тренажёр, а потом посчитай ожидание любой рекламы «выиграй смартфон»: шансы обычно напечатаны мелко, но теперь ты умеешь их читать.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Чему равно ожидание числа очков при броске игрального кубика?
2 Какие утверждения о математическом ожидании верны?
3 В лотерее с шансом 0,1 выпадает приз 400 р, с шансом 0,4 — приз 100 р, остальные билеты пустые. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
4 Ожидание выигрыша лотерейного билета обычно больше цены билета.
5 Расставь игры по возрастанию ожидания итога.
6 Соедини вопрос с ответом.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи игры по знаку ожидания итога.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как быстро оценить, выгодна ли лотерея?
Найди ожидание выигрыша: умножь каждый приз на его шанс и сложи. Затем вычти цену билета. Отрицательный итог — лотерея в среднем убыточна для игрока, как бы ни выглядела реклама.
Почему 3,5 считается средним броском кубика, хотя не выпадает?
Ожидание — центр тяжести длинной серии, а не возможный исход. Сумма очков всех граней 21 делится на 6, и средний вклад броска равен 3,5: по сотням бросков среднее сходится к этому числу.
Что значит честная игра?
Игра честная, если ожидание итога — выигрыша минус ставки — равно нулю: в среднем никто не выигрывает и не проигрывает. Как только плата за участие превышает средний выигрыш, ожидание становится отрицательным.
Зачем покупать страховку, если ожидание у страховой в плюсе?
Полис — плата не за средний плюс, а за защиту от редкого крупного убытка. Разовая потеря 40 000 рублей опаснее регулярной премии в 5000, поэтому переплата в среднем покупает устойчивость к удару.