Математическое ожидание и риск — тренажёр
Тренировка по теме «Математическое ожидание и риск»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 В игре четыре равновероятных исхода с выигрышами 2·6 р, 4·6 р, 6·6 р и 8·6 р. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
16 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. В игре четыре равновероятных исхода с выигрышами 2·5 р, 4·5 р, 6·5 р и 8·5 р. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Сложи четыре выигрыша и раздели на четыре.
Как решать. Ожидание — среднее по долям: (2·5 + 4·5 + 6·5 + 8·5) : 4, то есть 20·5 : 4 = 5·5.
Ответ: 25
Пример 2. Лотерейный билет: с шансом 0,1 выигрыш 10·1 р, с шансом 0,2 выигрыш 5·1 р, остальные билеты без выигрыша. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Умножь каждый выигрыш на его вероятность и сложи.
Как решать. Складываю вклады: 10·1 · 0,1 + 5·1 · 0,2. Каждый вклад равен 1, всего 2·1 рубля.
Ответ: 2
Пример 3. Игра: платишь ставку, затем с шансом 1/2 получаешь 6·6 р (иначе — ничего). Какой размер ставки делает игру честной? Ответ дай в рублях.
Подсказка. Честная ставка равна ожиданию выплаты.
Как решать. Ожидание выплаты: 6·6 · 1/2 = 3·6. Игра честная, когда ставка равна ожиданию выплаты, то есть 3·6 р.
Ответ: 18
Пример 4. Организатор лотереи продаёт билет за 50·7 р, средний приз на билет равен 20 р. Сколько рублей в среднем зарабатывает организатор с одного билета?
Подсказка. Из цены билета вычти средний приз.
Как решать. Сбор с билета 50·7 р, средняя выплата 20 р: средняя прибыль 50·7 − 20 рублей.
Ответ: 330
Пример 5. В игре четыре равновероятных исхода с выигрышами 2·1 р, 4·1 р, 6·1 р и 8·1 р. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Сложи четыре выигрыша и раздели на четыре.
Как решать. Ожидание — среднее по долям: (2·1 + 4·1 + 6·1 + 8·1) : 4, то есть 20·1 : 4 = 5·1.
Ответ: 5
Пример 6. Лотерейный билет: с шансом 0,1 выигрыш 10·7 р, с шансом 0,2 выигрыш 5·7 р, остальные билеты без выигрыша. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Умножь каждый выигрыш на его вероятность и сложи.
Как решать. Складываю вклады: 10·7 · 0,1 + 5·7 · 0,2. Каждый вклад равен 7, всего 2·7 рубля.
Ответ: 14
Пример 7. Игра: платишь ставку, затем с шансом 1/2 получаешь 6·2 р (иначе — ничего). Какой размер ставки делает игру честной? Ответ дай в рублях.
Подсказка. Честная ставка равна ожиданию выплаты.
Как решать. Ожидание выплаты: 6·2 · 1/2 = 3·2. Игра честная, когда ставка равна ожиданию выплаты, то есть 3·2 р.
Ответ: 6
Пример 8. Организатор лотереи продаёт билет за 50·5 р, средний приз на билет равен 20 р. Сколько рублей в среднем зарабатывает организатор с одного билета?
Подсказка. Из цены билета вычти средний приз.
Как решать. Сбор с билета 50·5 р, средняя выплата 20 р: средняя прибыль 50·5 − 20 рублей.
Ответ: 230
Пример 9. В игре четыре равновероятных исхода с выигрышами 2·4 р, 4·4 р, 6·4 р и 8·4 р. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Сложи четыре выигрыша и раздели на четыре.
Как решать. Ожидание — среднее по долям: (2·4 + 4·4 + 6·4 + 8·4) : 4, то есть 20·4 : 4 = 5·4.
Ответ: 20
Пример 10. Лотерейный билет: с шансом 0,1 выигрыш 10·5 р, с шансом 0,2 выигрыш 5·5 р, остальные билеты без выигрыша. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Умножь каждый выигрыш на его вероятность и сложи.
Как решать. Складываю вклады: 10·5 · 0,1 + 5·5 · 0,2. Каждый вклад равен 5, всего 2·5 рубля.
Ответ: 10
Пример 11. Организатор лотереи продаёт билет за 50·4 р, средний приз на билет равен 20 р. Сколько рублей в среднем зарабатывает организатор с одного билета?
Подсказка. Из цены билета вычти средний приз.
Как решать. Сбор с билета 50·4 р, средняя выплата 20 р: средняя прибыль 50·4 − 20 рублей.
Ответ: 180
Пример 12. В игре четыре равновероятных исхода с выигрышами 2·7 р, 4·7 р, 6·7 р и 8·7 р. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Сложи четыре выигрыша и раздели на четыре.
Как решать. Ожидание — среднее по долям: (2·7 + 4·7 + 6·7 + 8·7) : 4, то есть 20·7 : 4 = 5·7.
Ответ: 35
Пример 13. Лотерейный билет: с шансом 0,1 выигрыш 10·8 р, с шансом 0,2 выигрыш 5·8 р, остальные билеты без выигрыша. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Умножь каждый выигрыш на его вероятность и сложи.
Как решать. Складываю вклады: 10·8 · 0,1 + 5·8 · 0,2. Каждый вклад равен 8, всего 2·8 рубля.
Ответ: 16
Пример 14. Игра: платишь ставку, затем с шансом 1/2 получаешь 6·7 р (иначе — ничего). Какой размер ставки делает игру честной? Ответ дай в рублях.
Подсказка. Честная ставка равна ожиданию выплаты.
Как решать. Ожидание выплаты: 6·7 · 1/2 = 3·7. Игра честная, когда ставка равна ожиданию выплаты, то есть 3·7 р.
Ответ: 21
Пример 15. Организатор лотереи продаёт билет за 50·1 р, средний приз на билет равен 20 р. Сколько рублей в среднем зарабатывает организатор с одного билета?
Подсказка. Из цены билета вычти средний приз.
Как решать. Сбор с билета 50·1 р, средняя выплата 20 р: средняя прибыль 50·1 − 20 рублей.
Ответ: 30
Пример 16. Лотерейный билет: с шансом 0,1 выигрыш 10·9 р, с шансом 0,2 выигрыш 5·9 р, остальные билеты без выигрыша. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Подсказка. Умножь каждый выигрыш на его вероятность и сложи.
Как решать. Складываю вклады: 10·9 · 0,1 + 5·9 · 0,2. Каждый вклад равен 9, всего 2·9 рубля.
Ответ: 18
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Математическое ожидание и риск» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Чему равно ожидание числа очков при броске игрального кубика?
Ответ: 3,5
Пояснение. Сумма очков всех граней 21 делится на 6: 21/6 = 3,5.
Вопрос 2. Какие утверждения о математическом ожидании верны?
Ответ: ожидание может не совпадать ни с одним из возможных исходов; у честной игры ожидание итога равно нулю; в лотереях ожидание игрока обычно отрицательное
Пояснение. Ожидание — среднее длинной серии, а не расписание: 3,5 на кубике не выпадает никогда. Честная игра сбалансирована до нуля, а лотереи устроены в пользу организатора.
Вопрос 3. В лотерее с шансом 0,1 выпадает приз 400 р, с шансом 0,4 — приз 100 р, остальные билеты пустые. Найди ожидание выигрыша (в рублях).
Ответ: 80
Пояснение. Складываю вклады: 400 · 0,1 + 100 · 0,4 = 40 + 40 = 80 рублей.
Вопрос 4. Ожидание выигрыша лотерейного билета обычно больше цены билета.
Ответ: Неверно
Пояснение. Выплаты устроены так, что средний приз заметно меньше цены билета — иначе организатор работал бы в убыток.
Вопрос 5. Расставь игры по возрастанию ожидания итога.
Ответ: билет за 100 р со средним призом 20 р → платишь 10 р и получаешь число очков кубика в рублях → монета: орёл — +100 р, решка — −100 р → платишь 20 р; с шансом 1/2 получаешь 60 р
Пояснение. Ожидания итога: 20 − 100 = −80; 3,5 − 10 = −6,5; 100 · 1/2 − 100 · 1/2 = 0; 60 · 1/2 − 20 = +10.
Вопрос 6. Соедини вопрос с ответом.
Пояснение. 21/6 = 3,5; честная игра сбалансирована до нуля; 500 · 0,02 + 100 · 0,1 = 20; 20 − 100 = −80.
Вопрос 7. Разложи игры по знаку ожидания итога.
Пояснение. Нули у честной монеты и страховки со средней выплатой по премии; бесплатные призы — в плюс; всё, где ставка выше среднего возврата, — в минус: 3,5 − 5 и 160 · 1/4 − 50 = −10.