Случайные величины: таблица распределения и матожидание — тренажёр
Тренировка по теме «Случайные величины: таблица распределения и матожидание»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Билет мгновенной лотереи даёт выигрыш 40 рублей с вероятностью 0,5; в остальных случаях выигрыш нулевой. Чему равно матожидание выигрыша M(X) в рублях?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
17 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Билет мгновенной лотереи даёт выигрыш 50 рублей с вероятностью 0,4; в остальных случаях выигрыш нулевой. Чему равно матожидание выигрыша M(X) в рублях?
Подсказка. Умножь значение на вероятность: 50 · 4 : 10.
Как решать. Значения величины: 50 руб с вероятностью 0,4 и 0 руб с остальным шансом. M(X) = 50 · 0,4 = 5 · 4 рублей.
Ответ: 20
Пример 2. В таблице распределения величины X известны вероятности двух значений: 0,1 и 0,4. Сколько процентов составляет вероятность третьего значения X?
Подсказка. Сумма вероятностей всех значений равна 1.
Как решать. Сумма вероятностей равна 1. На третье значение остаётся 1 − 0,1 − 0,4, в процентах это 100 − (1 + 4) · 10.
Ответ: 50
Пример 3. Матожидание выигрыша по лотерейному билету — 7 рублей, а билет стоит 2 рублей. Чему равно матожидание чистой прибыли от одного билета (в рублях)?
Подсказка. Из среднего выигрыша вычти цену билета.
Как решать. Чистая прибыль равна матожиданию выигрыша минус цена билета: 7 − 2. У настоящих лотерей это число обычно отрицательное.
Ответ: 5
Пример 4. Страховой случай в договоре наступает с вероятностью 0,3, выплата по нему — 400 рублей. Чему равно матожидание выплаты (в рублях)?
Подсказка. 400 · 0,3 = 400 · 3 : 10.
Как решать. M(X) = 400 · 0,3 + 0 в остальных случаях = 4 · 3 · 10 рублей. Примерно в эту сумму страховая компания закладывает премию.
Ответ: 120
Пример 5. Билет мгновенной лотереи даёт выигрыш 10 рублей с вероятностью 0,9; в остальных случаях выигрыш нулевой. Чему равно матожидание выигрыша M(X) в рублях?
Подсказка. Умножь значение на вероятность: 10 · 9 : 10.
Как решать. Значения величины: 10 руб с вероятностью 0,9 и 0 руб с остальным шансом. M(X) = 10 · 0,9 = 1 · 9 рублей.
Ответ: 9
Пример 6. В таблице распределения величины X известны вероятности двух значений: 0,4 и 0,4. Сколько процентов составляет вероятность третьего значения X?
Подсказка. Сумма вероятностей всех значений равна 1.
Как решать. Сумма вероятностей равна 1. На третье значение остаётся 1 − 0,4 − 0,4, в процентах это 100 − (4 + 4) · 10.
Ответ: 20
Пример 7. Матожидание выигрыша по лотерейному билету — 6 рублей, а билет стоит 1 рублей. Чему равно матожидание чистой прибыли от одного билета (в рублях)?
Подсказка. Из среднего выигрыша вычти цену билета.
Как решать. Чистая прибыль равна матожиданию выигрыша минус цена билета: 6 − 1. У настоящих лотерей это число обычно отрицательное.
Ответ: 5
Пример 8. Страховой случай в договоре наступает с вероятностью 0,1, выплата по нему — 300 рублей. Чему равно матожидание выплаты (в рублях)?
Подсказка. 300 · 0,1 = 300 · 1 : 10.
Как решать. M(X) = 300 · 0,1 + 0 в остальных случаях = 3 · 1 · 10 рублей. Примерно в эту сумму страховая компания закладывает премию.
Ответ: 30
Пример 9. Билет мгновенной лотереи даёт выигрыш 40 рублей с вероятностью 0,8; в остальных случаях выигрыш нулевой. Чему равно матожидание выигрыша M(X) в рублях?
Подсказка. Умножь значение на вероятность: 40 · 8 : 10.
Как решать. Значения величины: 40 руб с вероятностью 0,8 и 0 руб с остальным шансом. M(X) = 40 · 0,8 = 4 · 8 рублей.
Ответ: 32
Пример 10. В таблице распределения величины X известны вероятности двух значений: 0,2 и 0,2. Сколько процентов составляет вероятность третьего значения X?
Подсказка. Сумма вероятностей всех значений равна 1.
Как решать. Сумма вероятностей равна 1. На третье значение остаётся 1 − 0,2 − 0,2, в процентах это 100 − (2 + 2) · 10.
Ответ: 60
Пример 11. Страховой случай в договоре наступает с вероятностью 0,9, выплата по нему — 200 рублей. Чему равно матожидание выплаты (в рублях)?
Подсказка. 200 · 0,9 = 200 · 9 : 10.
Как решать. M(X) = 200 · 0,9 + 0 в остальных случаях = 2 · 9 · 10 рублей. Примерно в эту сумму страховая компания закладывает премию.
Ответ: 180
Пример 12. Билет мгновенной лотереи даёт выигрыш 70 рублей с вероятностью 0,2; в остальных случаях выигрыш нулевой. Чему равно матожидание выигрыша M(X) в рублях?
Подсказка. Умножь значение на вероятность: 70 · 2 : 10.
Как решать. Значения величины: 70 руб с вероятностью 0,2 и 0 руб с остальным шансом. M(X) = 70 · 0,2 = 7 · 2 рублей.
Ответ: 14
Пример 13. Матожидание выигрыша по лотерейному билету — 8 рублей, а билет стоит 4 рублей. Чему равно матожидание чистой прибыли от одного билета (в рублях)?
Подсказка. Из среднего выигрыша вычти цену билета.
Как решать. Чистая прибыль равна матожиданию выигрыша минус цена билета: 8 − 4. У настоящих лотерей это число обычно отрицательное.
Ответ: 4
Пример 14. Страховой случай в договоре наступает с вероятностью 0,9, выплата по нему — 100 рублей. Чему равно матожидание выплаты (в рублях)?
Подсказка. 100 · 0,9 = 100 · 9 : 10.
Как решать. M(X) = 100 · 0,9 + 0 в остальных случаях = 1 · 9 · 10 рублей. Примерно в эту сумму страховая компания закладывает премию.
Ответ: 90
Пример 15. Билет мгновенной лотереи даёт выигрыш 50 рублей с вероятностью 0,3; в остальных случаях выигрыш нулевой. Чему равно матожидание выигрыша M(X) в рублях?
Подсказка. Умножь значение на вероятность: 50 · 3 : 10.
Как решать. Значения величины: 50 руб с вероятностью 0,3 и 0 руб с остальным шансом. M(X) = 50 · 0,3 = 5 · 3 рублей.
Ответ: 15
Пример 16. Матожидание выигрыша по лотерейному билету — 5 рублей, а билет стоит 4 рублей. Чему равно матожидание чистой прибыли от одного билета (в рублях)?
Подсказка. Из среднего выигрыша вычти цену билета.
Как решать. Чистая прибыль равна матожиданию выигрыша минус цена билета: 5 − 4. У настоящих лотерей это число обычно отрицательное.
Ответ: 1
Пример 17. Страховой случай в договоре наступает с вероятностью 0,8, выплата по нему — 300 рублей. Чему равно матожидание выплаты (в рублях)?
Подсказка. 300 · 0,8 = 300 · 8 : 10.
Как решать. M(X) = 300 · 0,8 + 0 в остальных случаях = 3 · 8 · 10 рублей. Примерно в эту сумму страховая компания закладывает премию.
Ответ: 240
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Случайные величины: таблица распределения и матожидание» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. X — число орлов при двух бросках монеты. Какие значения принимает эта случайная величина?
Ответ: 0, 1 и 2
Пояснение. Орлов может не быть совсем, может быть один или два: РР, ОР и РО, ОО. Значения — 0, 1, 2.
Вопрос 2. Найди вероятность ровно одного орла при двух бросках монеты. Ответ запиши дробью, например 3/8.
Ответ: 1/2
Пояснение. Ровно один орёл выпадает в двух исходах из четырёх: ОР и РО. P = 2/4 = 1/2.
Вопрос 3. Сумма вероятностей всех значений в таблице распределения равна 1.
Ответ: Верно
Пояснение. Таблица перечисляет все возможные значения, вместе они исчерпывают опыт: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1.
Вопрос 4. Чему равно матожидание числа очков при броске игрального кубика?
Ответ: 3,5
Пояснение. (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 6 = 3,5. Среднее может быть дробным, хотя грани 3,5 на кубике нет.
Вопрос 5. Игра приносит выигрыш 100 рублей с вероятностью 0,2 и ноль в остальных случаях. Чему равно матожидание выигрыша в рублях?
Ответ: 20
Пояснение. M(X) = 100 · 0,2 + 0 · 0,8 = 20 рублей.
Вопрос 6. Расставь случайные величины по возрастанию матожидания.
Ответ: число орлов при одном броске монеты → число орлов при двух бросках монеты → число очков при броске кубика
Пояснение. Матожидания равны 0,5; 1; 3,5 — именно в таком порядке.
Вопрос 7. Соедини величину с её матожиданием.
Пояснение. Считаем по правилу «умножь и сложи»: 1 · 0,5; 0 · 1/4 + 1 · 1/2 + 2 · 1/4 = 1; (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 6 = 3,5; 200 · 0,1 = 20.