Алгебра · 10 классурок · 2026-09-30~8 мин чтения

Формулы двойного угла и понижения степени

Синус и косинус двойного угла в трёх формах, тангенс двойного угла с его границами и формулы понижения степени: вывод за одну подстановку, разбор уравнения sin 2x = cos x и точное значение sin 75° без калькулятора.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Футболист отправляет мяч в ворота под углом 30° к газону, а тренер требует бить под 45° — и не зря. Дальность полёта зависит от угла удара через формулу L = v²·sin 2α / g, где сидит синус двойного угла: при 45° величина sin 90° равна единице, и мяч летит дальше всего, а при 30° и при 60° она одна и та же, √3/2 — равноудалённые от сорока пяти углы дают одинаковую дальность. Объяснить это школьной формулой синуса нельзя: в ней аргумент x, а тут 2x. Нужны формулы двойного угла — тождества, которые выражают sin 2x, cos 2x и tg 2x через функции обычного угла. Они выводятся из формул сложения одной подстановкой, а их следствия, формулы понижения степени, превращают квадраты в линейные выражения. В этом уроке: вывод, три формы косинуса, границы тангенса и уравнения, где всё это приносит баллы.

Вывод: одна подстановка в формуле сложения

Открой формулу синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Подставим β = x — сумма двух одинаковых углов и есть двойной угол. Справа слагаемые становятся одинаковыми: sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x. Одна подстановка — и формула готова. С косинусом то же самое: в cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β положим β = x и получим cos 2x = cos²x − sin²x. На контрольной эти формулы не страшно забыть: вывод занимает одну строку, и их всегда можно пересобрать на месте.

sin 2 x = sin (x + x) = 2 sin x cos x

Синус двойного угла: подстановка β = x в формулу сложения

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1

Три формы косинуса двойного угла

Косинус двойного угла не остановился в виде разности квадратов. По основному тождеству sin²x = 1 − cos²x: подставь в разность — выйдет cos 2x = 2cos²x − 1. А если выразить cos²x = 1 − sin²x, получится cos 2x = 1 − 2sin²x. Три формы — один факт, записанный трижды; каждая выручает в своём месте. Проверим на x = 30°: слева cos 60° = 0,5. По разности квадратов 3/4 − 1/4 = 0,5; по форме с единицей 1 − 2·(1/4) = 0,5; по форме с удвоением 2·(3/4) − 1 = 0,5. Четыре совпадения подряд — формулы согласуются между собой, и пользоваться можно любой.

Что нужно	Какая форма выручит	Проверка на табличном угле
увидел 2 sin x cos x	свернуть в sin 2x	2 · sin 30° · cos 30° = sin 60° = √3/2
увидел cos²x − sin²x	свернуть в cos 2x	3/4 − 1/4 = 1/2 = cos 60° при x = 30°
в уравнении sin²x или cos²x	понижение степени	sin²x = (1 − cos 2x)/2
известен cos 2x, нужен cos²x	та же формула в обратную сторону	cos²x = (1 + cos 2x)/2
нужен tg 2x	дробь 2 tg x / (1 − tg²x)	проверь cos x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0

Тангенс двойного угла: где формула молчит

Тангенс двойного угла получают делением: tg 2x = sin 2x / cos 2x. Раскладываем числитель и знаменатель на функции угла x — в числителе 2 sin x cos x, в знаменателе cos²x − sin²x — и делим обе части дроби на cos²x. Числитель превращается в 2 tg x, знаменатель в 1 − tg²x. Компактная формула готова, но у неё двойное ограничение: тангенс x должен существовать, то есть cos x ≠ 0, и косинус двойного угла не должен обнуляться, то есть cos 2x ≠ 0, откуда x ≠ 45° + 90°n. Внутри этих границ формула верна всюду; на границах она молчит.

tg 2 x = \frac{sin 2 x}{cos 2 x} = \frac{2 tg x}{1 - tg ^{2} x}

Тангенс двойного угла; работает при cos x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0

Ловушка: деление — операция с потерями

Выводя формулу, мы делили на cos²x и на cos 2x — и всё, где эти выражения равны нулю, формула перестаёт видеть. Возьми x = 90°: тангенс двойного угла существует, ведь sin 180° = 0 и cos 180° = −1, значит tg 180° = 0. А формула 2 tg x / (1 − tg²x) здесь неприменима — tg 90° не существует. В уравнениях та же беда стоит дороже: сократишь 2 sin x cos x = cos x на cos x — потеряешь всю серию x = 90° + 180°n, где косинус нулевой. Правило: делить на выражение с переменной можно только после того, как случай «оно равно нулю» разобран отдельно.

Понижение степени: квадраты исчезают

Возьмём форму cos 2x = 1 − 2sin²x и выразим из неё квадрат: 2sin²x = 1 − cos 2x, то есть sin²x = (1 − cos 2x)/2. Из формы cos 2x = 2cos²x − 1 так же выходит cos²x = (1 + cos 2x)/2. Знак запоминается коротко: у синуса в числителе минус, у косинуса плюс. Название честное: слева квадрат — вторая степень, справа первая. Платишь за это удвоением аргумента: график y = sin²x после замены превращается в обычную косинусоиду с частотой вдвое выше, приподнятую над осью на пол-единицы, — с ней и амплитудой 1/2 работать проще, чем с параболой.

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

Формулы понижения степени

Понижение степени — рабочая лошадка второй части ЕГЭ. Уравнение cos 2x = sin x в форме разности квадратов упрямо сопротивляется, потому что слева и справа разные функции. Замени cos 2x на 1 − 2sin²x — обе стороны станут про синус: 1 − 2sin²x = sin x. Перенеси всё в одну сторону, и получится квадратное уравнение 2sin²x + sin x − 1 = 0: дискриминант 9, корни sin x = 1/2 и sin x = −1, дальше — знакомые серии из простейших уравнений. Тем же приёмом ищут наибольшее и наименьшее значение выражений с квадратами: замена убирает квадрат и оставляет линейную функцию от косинуса, чьи границы видны без производной.

y = (1)·sin((2)·x)

a1b2

Синус с удвоенной частотой

Ползунок b сжимает волну по горизонтали: при b = 2 перед тобой график y = sin 2x — гребни идут вдвое чаще, чем при b = 1. Двойной угол = двойная частота.

Применение: упрощение, уравнения, точные значения

Частый запрос в заданиях на тождества — свернуть громоздкое выражение. Возведём (sin x + cos x)² в квадрат: sin²x + 2 sin x cos x + cos²x. Первое и третье слагаемые по основному тождеству дают единицу, среднее — это sin 2x. Итого (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x: три сущности свернулись в две. Обратный ход работает так же: видишь 2 sin x cos x — сворачивай в sin 2x; видишь cos²x − sin²x — сворачивай в cos 2x. Читать формулы в обе стороны, от произведения к квадрату и обратно, — это и есть владение темой.

Решим уравнение sin 2x = cos x

Раскладываем синус двойного угла и переносим всё в одну сторону.
$2 sin x cos x - cos x = 0$
Выносим cos x за скобку. Делить на него нельзя — потеряем серию.
$cos x (2 sin x - 1) = 0$
Первая серия: косинус нулевой.
$x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$
Вторая серия: синус равен половине.
$x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
Ответ: три серии корней. Если бы мы сократили на cos x, первой серии не было бы — минус балл на ЕГЭ.
$x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n; x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n; x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$

Теперь точные значения без калькулятора — в обратную сторону от привычной. Угол 75° не раскладывается в сумму табличных? Зато он — половина табличного: 75° = 150°/2. К понижению степени это прикладывается напрямую: cos 2x при x = 75° — это cos 150°, табличное число. Так работает формула половинного угла: она прячется внутри понижения степени.

Вычислим sin 75° через половину угла

Представим 75° как половину табличного 150°.
$sin 7 5^{\circ} = sin \frac{15 0 ^{\circ}}{2}$
Понижение степени: квадрат синуса через косинус двойного угла.
$sin^{2} 7 5^{\circ} = \frac{1 - cos 15 0 ^{\circ}}{2}$
Косинус 150° табличный: это минус косинус 30°.
$cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$
Считаем квадрат.
$sin^{2} 7 5^{\circ} = \frac{1 + 3 /2}{2} = \frac{2 + 3}{4}$
Извлекаем положительный корень: 75° лежит в первой четверти.
$sin 7 5^{\circ} = \frac{2 + 3}{2} \approx 0, 966$
Контроль через формулу сложения (75° = 45° + 30°) даёт (√6 + √2)/4 — то же число в другом облике.
$\frac{6 + 2}{4} \approx 0, 966$

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 5

Термины

Определения

Собери пары: формулы двойного угла

Пять связок, на которых держится тема. Открывай карточки и ищи соответствия.

Заполнено: 0 из 3

Понижение степени: sin²x = (1 − cos )/2 и cos²x = (1 + )/2. Тангенс двойного угла: tg 2x = 2 tg x / (1 − .)

Банк слов

Заполни формулы

Перетяни слова из банка в пропуски: правильные ответы идут по порядку слева направо, остальное — ловушка.

Куда всё это идёт дальше: в тригонометрических уравнениях второй части ЕГЭ двойной угол и понижение степени — первый шаг почти любого решения. После серий корней встаёт вопрос отбора на отрезке — ему посвящён соседний урок. А формула дальности L = v²·sin 2α / g, с которой мы начали, теперь читается без калькулятора: ты умеешь считать sin 2α в точных корнях и понимаешь, почему сорок пять градусов — золотая середина. Прогони квиз, собери пары в лаборатории и добей тему в тренажёре: он проверяет целыми числами, так что любую ошибку увидишь сразу.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Вычисли sin 2α, если sin α = 3/5 и cos α = 4/5. Запиши десятичной дробью.

Какая запись НЕ является формой косинуса двойного угла?

Верно ли: формула tg 2x = 2 tg x / (1 − tg²x) работает при любом x?

Какие равенства верны?

Расставь шаги решения уравнения sin 2x = cos x.

Сопоставь выражение и его значение.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Дополни формулы.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Понижение степени: sin²x = (1 − cos )/2 и cos²x = (1 + )/2; тангенс двойного угла: tg 2x = 2 tg x / (1 − ).

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему у косинуса двойного угла три формы и какую учить?

Это одно тождество в трёх видах: разность квадратов, 1 − 2sin²x и 2cos²x − 1 связаны основным тождеством. Учить механизм: подстановка β = x в формулу сложения, а формы получаются заменами — их всегда можно пересобрать.

Когда тангенс двойного угла не существует?

Когда не существует tg x (x = 90° + 180°n) или когда обнуляется косинус двойного угла (x = 45° + 90°n). При этом сам tg 2x в части таких точек существует — формула молчит, а функция нет.

Чем формулы понижения степени помогают в уравнениях?

Они убирают квадраты: sin²x и cos²x выражаются через cos 2x линейно. Уравнение с квадратом становится квадратным относительно синуса или косинуса — как cos 2x = sin x сводится к 2sin²x + sin x − 1 = 0.

Почему sin 75° можно найти и через сумму, и через половину угла?

Оба пути точные: 75° = 45° + 30° ведёт к формуле сложения, а 75° = 150°/2 — к понижению степени для половинного угла. Записи (√6 + √2)/4 и √(2 + √3)/2 разные, но это одно число.