Формулы двойного угла и понижения степени — тренажёр

Пример 1. Луч падает на зеркало под углом 52° к перпендикуляру. Отражённый луч уходит под тем же углом по другую сторону перпендикуляра. Найди угол между падающим и отражённым лучом (в градусах).

Подсказка. Сложи два одинаковых угла.

Как решать. Угол между лучами складывается из двух равных углов: 52 + 52. Двойной угол в оптике.

Ответ: 104

Пример 2. Углы α = 23° и β = 33°. Вычисли 2α + β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом прибавь β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 23 + 23. Затем прибавляем β: получится 23 + 23 + 33.

Ответ: 79

Пример 3. Сколько корней имеет уравнение sin 2x = 0 на отрезке от 0° до 2·360°?

Подсказка. Корни идут с шагом 90° — посчитай точки.

Как решать. sin 2x = 0 даёт 2x = 180°·m, то есть x = 90°·m. На отрезке от 0° до 2·360° шаг 90° укладывается 2·4 раза, плюс стартовая точка 0°.

Ответ: 9

Пример 4. Угол α = 66°. На сколько градусов двойной угол 2α больше самого угла α?

Подсказка. Из 2α вычти α.

Как решать. Разность 2α − α = α, то есть 66°. Удвоение добавляет ровно исходный угол.

Ответ: 66

Пример 5. Луч падает на зеркало под углом 25° к перпендикуляру. Отражённый луч уходит под тем же углом по другую сторону перпендикуляра. Найди угол между падающим и отражённым лучом (в градусах).

Подсказка. Сложи два одинаковых угла.

Как решать. Угол между лучами складывается из двух равных углов: 25 + 25. Двойной угол в оптике.

Ответ: 50

Пример 6. Углы α = 50° и β = 39°. Вычисли 2α + β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом прибавь β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 50 + 50. Затем прибавляем β: получится 50 + 50 + 39.

Ответ: 139

Пример 7. Сколько корней имеет уравнение sin 2x = 0 на отрезке от 0° до 1·360°?

Подсказка. Корни идут с шагом 90° — посчитай точки.

Как решать. sin 2x = 0 даёт 2x = 180°·m, то есть x = 90°·m. На отрезке от 0° до 1·360° шаг 90° укладывается 1·4 раза, плюс стартовая точка 0°.

Ответ: 5

Пример 8. Угол α = 46°. На сколько градусов двойной угол 2α больше самого угла α?

Подсказка. Из 2α вычти α.

Как решать. Разность 2α − α = α, то есть 46°. Удвоение добавляет ровно исходный угол.

Ответ: 46

Пример 9. Луч падает на зеркало под углом 44° к перпендикуляру. Отражённый луч уходит под тем же углом по другую сторону перпендикуляра. Найди угол между падающим и отражённым лучом (в градусах).

Подсказка. Сложи два одинаковых угла.

Как решать. Угол между лучами складывается из двух равных углов: 44 + 44. Двойной угол в оптике.

Ответ: 88

Пример 10. Углы α = 40° и β = 21°. Вычисли 2α + β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом прибавь β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 40 + 40. Затем прибавляем β: получится 40 + 40 + 21.

Ответ: 101

Пример 11. Угол α = 41°. На сколько градусов двойной угол 2α больше самого угла α?

Подсказка. Из 2α вычти α.

Как решать. Разность 2α − α = α, то есть 41°. Удвоение добавляет ровно исходный угол.

Ответ: 41

Пример 12. Луч падает на зеркало под углом 62° к перпендикуляру. Отражённый луч уходит под тем же углом по другую сторону перпендикуляра. Найди угол между падающим и отражённым лучом (в градусах).

Подсказка. Сложи два одинаковых угла.

Как решать. Угол между лучами складывается из двух равных углов: 62 + 62. Двойной угол в оптике.

Ответ: 124

Пример 13. Углы α = 54° и β = 37°. Вычисли 2α + β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом прибавь β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 54 + 54. Затем прибавляем β: получится 54 + 54 + 37.

Ответ: 145

Пример 14. Сколько корней имеет уравнение sin 2x = 0 на отрезке от 0° до 3·360°?

Подсказка. Корни идут с шагом 90° — посчитай точки.

Как решать. sin 2x = 0 даёт 2x = 180°·m, то есть x = 90°·m. На отрезке от 0° до 3·360° шаг 90° укладывается 3·4 раза, плюс стартовая точка 0°.

Ответ: 13

Пример 15. Угол α = 16°. На сколько градусов двойной угол 2α больше самого угла α?

Подсказка. Из 2α вычти α.

Как решать. Разность 2α − α = α, то есть 16°. Удвоение добавляет ровно исходный угол.

Ответ: 16

Пример 16. Луч падает на зеркало под углом 53° к перпендикуляру. Отражённый луч уходит под тем же углом по другую сторону перпендикуляра. Найди угол между падающим и отражённым лучом (в градусах).

Подсказка. Сложи два одинаковых угла.

Как решать. Угол между лучами складывается из двух равных углов: 53 + 53. Двойной угол в оптике.

Ответ: 106

Пример 17. Углы α = 60° и β = 34°. Вычисли 2α + β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом прибавь β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 60 + 60. Затем прибавляем β: получится 60 + 60 + 34.

Ответ: 154

Вопрос 1. Вычисли sin 2α, если sin α = 3/5 и cos α = 4/5. Запиши десятичной дробью.

Ответ: 0,96

Пояснение. sin 2α = 2 sin α cos α = 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25 = 0,96.

Вопрос 2. Какая запись НЕ является формой косинуса двойного угла?

Ответ: sin²x + cos²x

Пояснение. Сумма квадратов — основное тождество, она равна единице при любом x. Остальные три записи — формы cos 2x.

Вопрос 3. Верно ли: формула tg 2x = 2 tg x / (1 − tg²x) работает при любом x?

Ответ: Неверно

Пояснение. Нужно cos x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0. При x = 90° тангенс x не существует, хотя сам tg 180° равен нулю — формула молчит там, где функция жива.

Вопрос 4. Какие равенства верны?

Ответ: sin²x = (1 − cos 2x)/2; cos²x = (1 + cos 2x)/2

Пояснение. У синуса в понижении минус, у косинуса плюс. Третья запись путает знак, а в четвёртой знак перепутан: верно 2cos²x − 1.

Вопрос 5. Расставь шаги решения уравнения sin 2x = cos x.

Ответ: заменить sin 2x на 2 sin x cos x → вынести cos x за скобку → решить cos x = 0 → решить sin x = 1/2

Пояснение. Сначала раскладываем двойной угол, затем выносим общий множитель и решаем два простейших уравнения: косинус нулевой и синус — половина.

Вопрос 6. Сопоставь выражение и его значение.

Пояснение. sin 90° = 1, cos 120° = −1/2, cos 90° = 0 и (1/2)² = 1/4 — четыре подстановки в формулы темы.

Вопрос 7. Дополни формулы.

Ответ: 2x → cos 2x → tg²x

Пояснение. В обеих формулах понижения стоит косинус двойного угла, а в знаменателе тангенса — единица минус квадрат тангенса.