Обратные тригонометрические функции: арксинус

Строитель прикладывает пандус: подъём должен быть плавным, а синус угла наклона — ровно 0,6, иначе инвалидная коляска рискует опрокинуться. Угол-то какой? Калькулятор молчит, пока не появится специальная кнопка — та, что отвечает на вопрос «синус какого угла равен данному числу». Эта кнопка и есть арксинус: операция, обратная синусу. Вся тема обратных тригонометрических функций растёт из одной инженерной потребности — идти от значения функции к углу, а не наоборот. Так считают углы наклона крыш и пандусов, траектории броска и поворот спутниковой тарелки. Разберёмся, почему для этого пришлось договариваться об отрезках значений и как это помогает решать уравнения.

Зачем синусу нужен ограниченный обратный

Обратная функция имеет право существовать только у функции, которая на своём участке принимает каждое значение ровно один раз. Синус на всей прямой этому требованию не отвечает: sin 30° = 0,5 и sin 150° = 0,5, а к этому добавь серию с 2πn — одному значению отвечают миллионы углов. Значит, надо выбрать кусок, где синус монотонно растёт и пробегает все значения от −1 до 1 ровно по разу. Таким куском договорились считать отрезок от −π/2 до π/2: тут синус поднимается строго вверх, без плато и разворотов.

На этом отрезке арксинус определён честно: бери число t от −1 до 1, и arcsin t вернёт единственный угол с синусом t. Важно не выпадать из договора: если аргумент больше 1 или меньше −1, у синуса таких значений нет, и арксинус не существует — калькулятор в этой ситуации честно пишет ошибку.

Арксинус#

Угол из отрезка от −π/2 до π/2, синус которого равен данному числу

Арккосинус#

Угол из отрезка от 0 до π, косинус которого равен данному числу

Арктангенс#

Угол из интервала от −π/2 до π/2, тангенс которого равен данному числу

Область определения#

У синуса и косинуса — отрезок от −1 до 1, у тангенса — вся прямая

Арккосинус устроен так же, но его монотонный кусок — верхняя половина окружности от 0 до π: там косинус убывает от 1 до −1. Арктангенсу повезло больше всех: тангенс растёт на каждой ветке от −∞ до +∞, поэтому арктангенс определён для любого числа и его значения всегда зажаты между −π/2 и π/2. Из-за таких разных областей значений одна и та же величина у разных аркфункций лежит в разных углах окружности — именно эта путаница и порождает.

График арксинуса получается из графика синуса переворотом: возьми ветвь синусоиды на отрезке от −π/2 до π/2, поменяй местами оси — и выйдет кривая от точки (−1; −π/2) до точки (1; π/2), строго возрастающая и гладкая. По такой картинке сразу видно и отрезок значений, и причину, по которой обратная функция существует только у монотонного куска: у отражённой кривой нет горизонтальных повторов. Тот же трюк работает для косинуса и тангенса — отражай только монотонную ветвь, остальное выбрасывай. Поэтому у арккосинуса график идёт по убывающей, а у арктангенса прижимается к горизонтальным асимптотам π/2 и −π/2.

Читай таблицу в обе стороны. Слева направо: нужно значение арксинуса — смотришь угол. Справа налево: знаешь угол 45° — получаешь arctg 1 = π/4. Двойное чтение экономит половину заучивания: одна и та же строка обслуживает и прямую задачу, и обратную. Если сомневаешься в строке, проверь её определением: арксинус возвращает ординату точки окружности, арккосинус — абсциссу, арктангенс — угол с нужным отношением ординаты к абсциссе.

Свойства: чётность, нечётность и сумма

Арксинус и арктангенс нечётные: отрицательное число даёт отрицательный угол, поэтому arcsin(−t) = −arcsin t. С арккосинусом иначе: он живёт на отрезке от 0 до π, куда отрицательные углы просто не попадают, и симметрия выражается формулой arccos(−t) = π − arccos t: точка с косинусом −t лежит зеркально относительно вертикальной оси. Проверь на числах: arccos(−0,5) = π − π/3 = 2π/3 = 120°, а никак не −60°.

Ещё одно тождество связывает пару: для любого t из отрезка от −1 до 1 сумма arcsin t + arccos t равна π/2. Причина видна на окружности: угол с синусом t и угол с косинусом t дополняют друг друга до прямого, ведь sin t = cos(π/2 − t). Это тождество экономит память: зная таблицу арксинусов, арккосинусы получаешь вычитанием из 90°.

Арктангенс часто всплывает в аналитической геометрии: угол наклона прямой y = k·x + b к горизонтальной оси равен arctg k. Прямая с коэффициентом 1 наклонена на 45°, с коэффициентом √3 — на 60°, а при отрицательном k угол выходит отрицательным и прямая смотрит вниз. В физике той же величиной меряют крутизну склонов и уклон дорог. Для полноты набора существует и арккотангенс — угол из интервала от 0 до π с заданным котангенсом; в школьных задачах он бывает редко, и при необходимости его выражают через арктангенс по картинке окружности.

Простейшие уравнения через аркфункции

Теперь главное применение всей темы: уравнения. Для sin x = a арксинус даёт одну серию корней сразу, вторая получается дополнением до π: x = arcsin a + 2πn или x = π − arcsin a + 2πn. Для cos x = a обе серии записываются одним знаком плюс-минус: x = ±arccos a + 2πn. Уравнение tg x = a самое короткое — x = arctg a + πn, ведь у тангенса одна ветка на пол-оборота. Эти формулы мы вывели в уроке про тригонометрические уравнения, а аркфункции в них — инструмент, который превращает число в конкретный угол.

Нестандартные значения вроде arcsin 0,4 считаются приближённо: по таблице Брадиса или на калькуляторе выходит угол около 0,41 радиана. В ответах ЕГЭ приближённые аркфункции оставляют как есть — запись x = arcsin 0,4 + 2πn считается точным ответом, хотя само число найдено приближённо. Понимание этого снимает страх перед «некрасивыми» числами: аркфункция и есть точная упаковка угла.

Отдельная мелочь, которая стоит баллов на контрольной, — порядок записи серий. Первая серия всегда идёт от аркфункции, вторая — отражение; если перепутать их местами или склеить в одну формулу, ответ теряет смысл. Привычка к проверке спасает: подставь по одному корню из каждой серии и убедись, что уравнение сходится. Для cos x = a серии симметричны относительно нуля, поэтому работает короткая запись с плюс-минусом. У синуса ветки несимметричны относительно нуля — они зеркальны относительно вершины дуги π/2, поэтому приходится держать две формулы отдельно.

Прикидка без таблицы тоже работает: арксинус растёт от −π/2 до π/2, поэтому большие аргументы дают углы у правого края. Число 0,9 близко к единице — угол близок к π/2, и такой оценки хватает для сравнения: arcsin 0,9 больше π/3, ведь sin(π/3) ≈ 0,87. Прикидки выручают в задачах с выбором ответа и при самопроверке: если вдруг вышло, что arcsin 0,2 больше π/2, ты поймал ошибку раньше проверяющего.

Итого у тебя в руках полный набор: определения с отрезками значений, таблица, свойства симметрии и формулы корней простейших уравнений. На следующем уроке по программе — тригонометрические неравенства, где арксинус и арккосинус становятся границами дуг, а дальше они встретятся в задачах с параметром и в геометрии. Прогони квиз и тренажёр: таблица должна щёлкаться без бумажки.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема