Обратные тригонометрические функции: арксинус — тренажёр

Пример 1. Запиши в градусах угол величиной 3·π/6 радиан.

Подсказка. π/6 радиан — это 30°.

Как решать. π радиан — это 180°, поэтому 3·π/6 = 3·30°: делим полный разворот на шесть частей и берём 3.

Ответ: 90

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа равна 90°. Известно, что arcsin t = 11°. Чему равен arccos t в градусах?

Подсказка. Вычти арксинус из прямого угла.

Как решать. Из тождества arcsin t + arccos t = 90° следует: arccos t = 90 − 11.

Ответ: 79

Пример 3. Арксинус числа — это угол или число? Запиши одним словом.

Подсказка. Функция возвращает величину угла.

Как решать. Арксинус числа — это угол в радианах, синус которого равен данному числу; он лежит на отрезке от −π/2 до π/2.

Ответ: угол

Пример 4. Запиши в градусах угол величиной 1·π/6 радиан.

Подсказка. π/6 радиан — это 30°.

Как решать. π радиан — это 180°, поэтому 1·π/6 = 1·30°: делим полный разворот на шесть частей и берём 1.

Ответ: 30

Пример 5. Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа равна 90°. Известно, что arcsin t = 18°. Чему равен arccos t в градусах?

Подсказка. Вычти арксинус из прямого угла.

Как решать. Из тождества arcsin t + arccos t = 90° следует: arccos t = 90 − 18.

Ответ: 72

Пример 6. Запиши в градусах угол величиной 2·π/6 радиан.

Подсказка. π/6 радиан — это 30°.

Как решать. π радиан — это 180°, поэтому 2·π/6 = 2·30°: делим полный разворот на шесть частей и берём 2.

Ответ: 60

Пример 7. Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа равна 90°. Известно, что arcsin t = 15°. Чему равен arccos t в градусах?

Подсказка. Вычти арксинус из прямого угла.

Как решать. Из тождества arcsin t + arccos t = 90° следует: arccos t = 90 − 15.

Ответ: 75

Пример 8. Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа равна 90°. Известно, что arcsin t = 19°. Чему равен arccos t в градусах?

Подсказка. Вычти арксинус из прямого угла.

Как решать. Из тождества arcsin t + arccos t = 90° следует: arccos t = 90 − 19.

Ответ: 71

Пример 9. Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа равна 90°. Известно, что arcsin t = 20°. Чему равен arccos t в градусах?

Подсказка. Вычти арксинус из прямого угла.

Как решать. Из тождества arcsin t + arccos t = 90° следует: arccos t = 90 − 20.

Ответ: 70

Вопрос 1. Чему равно arcsin 0,5 в градусах?

Ответ: 30

Пояснение. Арксинус 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5: это 30°, то есть π/6 радиан.

Вопрос 2. Чему равен arccos(−0,5)?

Ответ: 2π/3

Пояснение. Арккосинус обязан лежать от 0 до π: arccos(−0,5) = π − arccos 0,5 = π − π/3 = 2π/3.

Вопрос 3. arccos(−t) = −arccos t при положительном t.

Ответ: Неверно

Пояснение. Нет: арккосинус нечётным не является, верна формула arccos(−t) = π − arccos t, ведь его значения лежат от 0 до π.

Вопрос 4. Какие утверждения верны?

Ответ: arcsin 1 = π/2; область определения арксинуса — отрезок от −1 до 1

Пояснение. arcsin 1 = π/2 — верхняя точка отрезка значений, а область определения арксинуса действительно от −1 до 1. Арктангенс определён для любых чисел, а arccos 2 не существует.

Вопрос 5. Расставь шаги решения уравнения sin x = 1/2 по порядку.

Ответ: найти арксинус числа → записать первую серию корней → записать вторую серию через π − арксинус → добавить период 2πn

Пояснение. Сначала арксинус даёт первую серию, затем дополнение до π — вторую, и в конце период приписывается обеим.

Вопрос 6. Сопоставь выражение и его значение.

Пояснение. Табличные значения снимаются по окружности: ордината даёт арксинус, абсцисса — арккосинус.

Вопрос 7. Дополни.

Ответ: π/2 → любого

Пояснение. Арксинус выдает углы только между −π/2 и π/2, а арктангенс принимает любое действительное число в качестве аргумента.