Формулы сложения, двойного и половинного угла — тренажёр

Пример 1. Угол α = 53°. Найди величину двойного угла 2α (в градусах).

Подсказка. Удвой значение угла.

Как решать. Двойной угол — сумма двух равных углов: 2α = 53 + 53.

Ответ: 106

Пример 2. Угол α = 33°, угол β = 22°. Найди величину угла 2α − β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом вычти β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 33 + 33. Затем вычитаем β: 33 + 33 − 22.

Ответ: 44

Пример 3. sin 15° вычислили по формуле синуса разности табличных углов 45° и 30°. Какое получилось число — положительное или отрицательное? Запиши одним словом.

Подсказка. Вспомни, где синус положителен.

Как решать. Угол 15° лежит в первой четверти, синус там положителен: sin 15° ≈ 0,26.

Ответ: положительное

Пример 4. Угол α = 20°. Найди величину двойного угла 2α (в градусах).

Подсказка. Удвой значение угла.

Как решать. Двойной угол — сумма двух равных углов: 2α = 20 + 20.

Ответ: 40

Пример 5. Угол α = 60°, угол β = 25°. Найди величину угла 2α − β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом вычти β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 60 + 60. Затем вычитаем β: 60 + 60 − 25.

Ответ: 95

Пример 6. Угол α = 43°. Найди величину двойного угла 2α (в градусах).

Подсказка. Удвой значение угла.

Как решать. Двойной угол — сумма двух равных углов: 2α = 43 + 43.

Ответ: 86

Пример 7. Угол α = 50°, угол β = 16°. Найди величину угла 2α − β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом вычти β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 50 + 50. Затем вычитаем β: 50 + 50 − 16.

Ответ: 84

Пример 8. Угол α = 64°. Найди величину двойного угла 2α (в градусах).

Подсказка. Удвой значение угла.

Как решать. Двойной угол — сумма двух равных углов: 2α = 64 + 64.

Ответ: 128

Пример 9. Угол α = 64°, угол β = 24°. Найди величину угла 2α − β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом вычти β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 64 + 64. Затем вычитаем β: 64 + 64 − 24.

Ответ: 104

Пример 10. Угол α = 70°, угол β = 22°. Найди величину угла 2α − β (в градусах).

Подсказка. Сначала удвой α, потом вычти β.

Как решать. Сначала двойной угол: 2α = 70 + 70. Затем вычитаем β: 70 + 70 − 22.

Ответ: 118

Вопрос 1. Чему равен cos 2α при α = 30°?

Ответ: 0,5

Пояснение. 2α = 60°, а cos 60° = 0,5. Через формулу: cos 2α = 1 − 2 sin²30° = 1 − 2·(1/4) = 0,5.

Вопрос 2. Какая формула задаёт sin(α + β)?

Ответ: sin α cos β + cos α sin β

Пояснение. Синус суммы — сумма смешанных произведений: синус первого на косинус второго плюс косинус первого на синус второго.

Вопрос 3. Верно ли равенство cos(α + β) = cos α + cos β?

Ответ: Неверно

Пояснение. Нет: при α = β = 30° слева cos 60° = 0,5, а справа ≈ 1,73. Косинус суммы считается по формуле сложения.

Вопрос 4. Какие равенства верны?

Ответ: sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α; cos 2α = 1 − 2 sin²α

Пояснение. Первое, второе и четвёртое — верные формы. Третье неверно: при α = 30° получается sin 60° ≈ 0,87 против ровно 1.

Вопрос 5. Расставь шаги вычисления sin 75° по формуле сложения.

Ответ: разложить 75° = 45° + 30° → применить формулу синуса суммы → подставить табличные значения → сложить полученные дроби

Пояснение. Сначала разложение угла, затем формула, подстановка значений и финальное сложение дробей.

Вопрос 6. Сопоставь формулу и её расшифровку.

Пояснение. Косинус разности — плюс у синусов, синус разности — минус, а понижение степени выражает квадрат через двойной угол.

Вопрос 7. Дополни.

Ответ: 2α → 2α

Пояснение. В обеих формулах стоит косинус двойного угла: минус у синуса и плюс у косинуса.