Тригонометрические функции: графики и свойства — тренажёр

Пример 1. Найди наибольшее значение функции y = 4·sin x + 2.

Подсказка. Максимум синуса равен 1 — подставь его в формулу.

Как решать. Наибольшее значение синуса равно 1. Растяжение даёт максимум 4, сдвиг вверх на 2 добавляет ещё 2: итого 4 + 2.

Ответ: 6

Пример 2. График y = sin x сначала сдвинули на 3 единицы влево, а затем на 2 единицы вправо. Чему равен итоговый сдвиг влево (в единицах)?

Подсказка. Влево — плюс, вправо — минус: сложи со знаками.

Как решать. Сдвиги по горизонтали складываются с учётом знака: 3 влево и 2 вправо дают 3 − 2 единицы влево.

Ответ: 1

Пример 3. График y = sin(x − 2) получен из графика y = sin x сдвигом. Запиши одним словом, в какую сторону сдвинут график.

Подсказка. Сравни с y = sin(x + b): плюс двигает влево.

Как решать. Минус внутри аргумента работает наоборот: sin(x − 2) — это синусоида, сдвинутая на 2 единицы вправо.

Ответ: вправо

Пример 4. Найди наибольшее значение функции y = 2·sin x + 4.

Подсказка. Максимум синуса равен 1 — подставь его в формулу.

Как решать. Наибольшее значение синуса равно 1. Растяжение даёт максимум 2, сдвиг вверх на 4 добавляет ещё 4: итого 2 + 4.

Ответ: 6

Пример 5. График y = sin x сначала сдвинули на 6 единицы влево, а затем на 2 единицы вправо. Чему равен итоговый сдвиг влево (в единицах)?

Подсказка. Влево — плюс, вправо — минус: сложи со знаками.

Как решать. Сдвиги по горизонтали складываются с учётом знака: 6 влево и 2 вправо дают 6 − 2 единицы влево.

Ответ: 4

Пример 6. Найди наибольшее значение функции y = 3·sin x + 4.

Подсказка. Максимум синуса равен 1 — подставь его в формулу.

Как решать. Наибольшее значение синуса равно 1. Растяжение даёт максимум 3, сдвиг вверх на 4 добавляет ещё 4: итого 3 + 4.

Ответ: 7

Пример 7. График y = sin x сначала сдвинули на 4 единицы влево, а затем на 1 единицы вправо. Чему равен итоговый сдвиг влево (в единицах)?

Подсказка. Влево — плюс, вправо — минус: сложи со знаками.

Как решать. Сдвиги по горизонтали складываются с учётом знака: 4 влево и 1 вправо дают 4 − 1 единицы влево.

Ответ: 3

Пример 8. Найди наибольшее значение функции y = 4·sin x + 1.

Подсказка. Максимум синуса равен 1 — подставь его в формулу.

Как решать. Наибольшее значение синуса равно 1. Растяжение даёт максимум 4, сдвиг вверх на 1 добавляет ещё 1: итого 4 + 1.

Ответ: 5

Вопрос 1. Сколько полных волн y = sin x укладывается на отрезке от 0 до 4π?

Ответ: 2

Пояснение. Период синуса равен 2π, поэтому на отрезке длиной 4π умещается 4π : 2π = 2 полные волны.

Вопрос 2. Чему равно наибольшее значение функции y = 3·sin x + 2?

Ответ: 5

Пояснение. Наибольшее значение синуса равно 1, поэтому максимум равен 3·1 + 2 = 5.

Вопрос 3. Верно ли, что функция y = cos x чётная: cos(−x) = cos x?

Ответ: Верно

Пояснение. Да: график косинуса симметричен относительно оси Oy, значения в противоположных точках совпадают.

Вопрос 4. Какие точки лежат на графике y = sin x?

Ответ: (π; 0); (π/2; 1)

Пояснение. sin π = 0 и sin(π/2) = 1, поэтому верны первые две точки. В нуле синус равен 0, а sin(3π/2) = −1.

Вопрос 5. Расставь шаги построения графика y = 2·sin(x − π/3) в правильном порядке.

Ответ: начертить базовую синусоиду y = sin x → сдвинуть график вправо на π/3 → растянуть по вертикали в 2 раза → проверить опорные точки

Пояснение. Сначала базовая волна, затем сдвиг, потом вертикальное растяжение, и в конце проверка по точкам.

Вопрос 6. Сопоставь функцию и её свойство.

Пояснение. Двойной аргумент сжимает период вдвое, а сдвиг вверх переносит весь диапазон от −1;1 к 2;4.

Вопрос 7. Дополни.

Ответ: 4 → 2 → 1

Пояснение. Амплитуда — модуль множителя перед синусом, а сдвиги задают свободные слагаемые: плюс 2 поднимает волну, минус 1 опускает.