Алгебра · 10 класстренажёр

Логарифмические уравнения и неравенства — тренажёр

Тренировка по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.

← К теории

Тренировка

0/8

Задача 1 из 8

Реши уравнение: $lo g_{5} x = 2$ . В ответе запиши x.

Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.

Разбор примеров из тренажёра

11 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.

Пример 1. Реши уравнение: $lo g_{4} x = 2$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Аргумент равен основанию во второй степени.

Как решать. По определению логарифма $x = 4^{2} = 4 \cdot 4$ . Аргумент положительный — ОДЗ выполнено.

Ответ: 16

Пример 2. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Сверни правую часть в один логарифм.

Как решать. Сумма логарифмов — логарифм произведения: $x = 2 \cdot 8$ .

Ответ: 16

Пример 3. Реши уравнение: $lo g_{2} (x - 6) = 3$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Аргумент логарифма равен $2^{3}$ .

Как решать. $x - 6 = 2^{3} = 8$ , значит $x = 6 + 8$ . ОДЗ выполнено: под логарифмом $8 > 0$ .

Ответ: 14

Пример 4. Реши уравнение: $lo g_{2} x = 2$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Аргумент равен основанию во второй степени.

Как решать. По определению логарифма $x = 2^{2} = 2 \cdot 2$ . Аргумент положительный — ОДЗ выполнено.

Ответ: 4

Пример 5. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 9$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Сверни правую часть в один логарифм.

Как решать. Сумма логарифмов — логарифм произведения: $x = 8 \cdot 9$ .

Ответ: 72

Пример 6. Реши уравнение: $lo g_{2} (x - 2) = 3$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Аргумент логарифма равен $2^{3}$ .

Как решать. $x - 2 = 2^{3} = 8$ , значит $x = 2 + 8$ . ОДЗ выполнено: под логарифмом $8 > 0$ .

Ответ: 10

Пример 7. Реши уравнение: $lo g_{3} x = 2$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Аргумент равен основанию во второй степени.

Как решать. По определению логарифма $x = 3^{2} = 3 \cdot 3$ . Аргумент положительный — ОДЗ выполнено.

Ответ: 9

Пример 8. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 5 + lo g_{2} 5$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Сверни правую часть в один логарифм.

Как решать. Сумма логарифмов — логарифм произведения: $x = 5 \cdot 5$ .

Ответ: 25

Пример 9. Реши уравнение: $lo g_{5} x = 2$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Аргумент равен основанию во второй степени.

Как решать. По определению логарифма $x = 5^{2} = 5 \cdot 5$ . Аргумент положительный — ОДЗ выполнено.

Ответ: 25

Пример 10. Реши уравнение: $lo g_{2} (x - 7) = 3$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Аргумент логарифма равен $2^{3}$ .

Как решать. $x - 7 = 2^{3} = 8$ , значит $x = 7 + 8$ . ОДЗ выполнено: под логарифмом $8 > 0$ .

Ответ: 15

Пример 11. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 9 + lo g_{2} 8$ . В ответе запиши x.

Подсказка. Сверни правую часть в один логарифм.

Как решать. Сумма логарифмов — логарифм произведения: $x = 9 \cdot 8$ .

Ответ: 72

Вопросы для повторения темы

Контрольные вопросы по «Логарифмические уравнения и неравенства» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.

Вопрос 1. Реши уравнение $lo g_{2} x = 6$ .

Ответ: 64

Пояснение. $x = 2^{6} = 64$ . Под логарифмом положительное число — ОДЗ выполнено.

Вопрос 2. Реши уравнение $lo g_{3} (x - 2) = 2$ .

Ответ: 11

Пояснение. $x - 2 = 3^{2} = 9$ , значит $x = 11$ . Проверка: $11 - 2 = 9 > 0$ .

Вопрос 3. Какое уравнение не имеет корней?

Ответ: $lo g_{2} (- 4) = x$

Пояснение. Логарифм определён только для положительных чисел, поэтому $lo g_{2} (- 4)$ не существует.

Вопрос 4. Если $lo g_{0, 5} x > 1$ , то $x < 0, 5$ .

Ответ: Верно

Пояснение. Основание меньше единицы: при потенцировании знак неравенства меняется, $x < 0, 5^{1} = 0, 5$ .

Вопрос 5. Отметь верные шаги решения логарифмического уравнения.

Ответ: выписать ОДЗ; убрать логарифмы потенцированием; проверить корни подстановкой

Пояснение. ОДЗ, потенцирование и проверка — стандартные шаги; «сложить с аргументом» — бессмыслица.

Вопрос 6. Реши неравенство $lo g_{2} x > 3$ и запиши наименьшее целое решение.

Ответ: 9

Пояснение. $x > 2^{3} = 8$ , наименьшее целое — 9.

Вопрос 7. Разложи уравнения по наличию корня.

Пояснение. log₂ (−x) = 3 требует отрицательного аргумента — запрещено. Остальные решаются: 8, 1, 7, 1/25 — все аргументы положительные.

Вопрос 8. Дополни метод потенцирования.

Ответ: a^c → меняется

Пояснение. По определению логарифма аргумент равен основанию в степени c. Убывающая логарифмическая функция переворачивает знак неравенства.

Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по алгебре — новое каждый день.

Тренировка

Разбор примеров из тренажёра

Пример 1. Реши уравнение: log4​x=2. В ответе запиши x.

Пример 2. Реши уравнение: log2​x=log2​2+log2​8. В ответе запиши x.

Пример 3. Реши уравнение: log2​(x−6)=3. В ответе запиши x.

Пример 4. Реши уравнение: log2​x=2. В ответе запиши x.

Пример 5. Реши уравнение: log2​x=log2​8+log2​9. В ответе запиши x.

Пример 6. Реши уравнение: log2​(x−2)=3. В ответе запиши x.

Пример 7. Реши уравнение: log3​x=2. В ответе запиши x.

Пример 8. Реши уравнение: log2​x=log2​5+log2​5. В ответе запиши x.

Пример 9. Реши уравнение: log5​x=2. В ответе запиши x.

Пример 10. Реши уравнение: log2​(x−7)=3. В ответе запиши x.

Пример 11. Реши уравнение: log2​x=log2​9+log2​8. В ответе запиши x.

Вопросы для повторения темы

Вопрос 1. Реши уравнение log2​x=6.

Вопрос 2. Реши уравнение log3​(x−2)=2.

Вопрос 3. Какое уравнение не имеет корней?

Вопрос 4. Если log0,5​x>1, то x<0,5.

Вопрос 5. Отметь верные шаги решения логарифмического уравнения.

Вопрос 6. Реши неравенство log2​x>3 и запиши наименьшее целое решение.

Вопрос 7. Разложи уравнения по наличию корня.

Вопрос 8. Дополни метод потенцирования.

Пример 1. Реши уравнение: $lo g_{4} x = 2$ . В ответе запиши x.

Пример 2. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8$ . В ответе запиши x.

Пример 3. Реши уравнение: $lo g_{2} (x - 6) = 3$ . В ответе запиши x.

Пример 4. Реши уравнение: $lo g_{2} x = 2$ . В ответе запиши x.

Пример 5. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 9$ . В ответе запиши x.

Пример 6. Реши уравнение: $lo g_{2} (x - 2) = 3$ . В ответе запиши x.

Пример 7. Реши уравнение: $lo g_{3} x = 2$ . В ответе запиши x.

Пример 8. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 5 + lo g_{2} 5$ . В ответе запиши x.

Пример 9. Реши уравнение: $lo g_{5} x = 2$ . В ответе запиши x.

Пример 10. Реши уравнение: $lo g_{2} (x - 7) = 3$ . В ответе запиши x.

Пример 11. Реши уравнение: $lo g_{2} x = lo g_{2} 9 + lo g_{2} 8$ . В ответе запиши x.

Вопрос 1. Реши уравнение $lo g_{2} x = 6$ .

Вопрос 2. Реши уравнение $lo g_{3} (x - 2) = 2$ .

Вопрос 4. Если $lo g_{0, 5} x > 1$ , то $x < 0, 5$ .

Вопрос 6. Реши неравенство $lo g_{2} x > 3$ и запиши наименьшее целое решение.