Алгебра · 10 класстренажёр

Логарифмы и их свойства — тренажёр

Тренировка по теме «Логарифмы и их свойства»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.

← К теории

Тренировка

0/8

Задача 1 из 8

Вычисли: $lo g_{5} 5^{3}$ . В ответ запиши число.

Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.

Разбор примеров из тренажёра

12 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.

Пример 1. Вычисли: $lo g_{4} 4^{3}$ . В ответ запиши число.

Подсказка. В какую степень возвели 4?

Как решать. $lo g_{a} a^{3} = n$ : логарифм и есть показатель степени. Здесь ответ 3.

Ответ: 3

Пример 2. Вычисли: $2^{l o g_{2} 8}$ . В ответ запиши число.

Подсказка. Степень и логарифм с одинаковым основанием взаимно уничтожаются.

Как решать. Основное логарифмическое тождество: $a^{l o g_{a} b} = b$ , ответ 8.

Ответ: 8

Пример 3. Вычисли: $lo g_{4} 4^{3} + lo g_{4} 4^{3}$ .

Подсказка. Примени тождество к каждому слагаемому.

Как решать. Каждый логарифм равен своему показателю: 3 + 3.

Ответ: 6

Пример 4. Вычисли: $lo g_{2} 2^{6}$ . В ответ запиши число.

Подсказка. В какую степень возвели 2?

Как решать. $lo g_{a} a^{6} = n$ : логарифм и есть показатель степени. Здесь ответ 6.

Ответ: 6

Пример 5. Вычисли: $5^{l o g_{5} 9}$ . В ответ запиши число.

Подсказка. Степень и логарифм с одинаковым основанием взаимно уничтожаются.

Как решать. Основное логарифмическое тождество: $a^{l o g_{a} b} = b$ , ответ 9.

Ответ: 9

Пример 6. Вычисли: $lo g_{2} 2^{3} + lo g_{2} 2^{2}$ .

Подсказка. Примени тождество к каждому слагаемому.

Как решать. Каждый логарифм равен своему показателю: 3 + 2.

Ответ: 5

Пример 7. Вычисли: $lo g_{3} 3^{6}$ . В ответ запиши число.

Подсказка. В какую степень возвели 3?

Как решать. $lo g_{a} a^{6} = n$ : логарифм и есть показатель степени. Здесь ответ 6.

Ответ: 6

Пример 8. Вычисли: $3^{l o g_{3} 5}$ . В ответ запиши число.

Подсказка. Степень и логарифм с одинаковым основанием взаимно уничтожаются.

Как решать. Основное логарифмическое тождество: $a^{l o g_{a} b} = b$ , ответ 5.

Ответ: 5

Пример 9. Вычисли: $lo g_{4} 4^{2} + lo g_{4} 4^{3}$ .

Подсказка. Примени тождество к каждому слагаемому.

Как решать. Каждый логарифм равен своему показателю: 2 + 3.

Ответ: 5

Пример 10. Вычисли: $lo g_{5} 5^{3} + lo g_{5} 5^{5}$ .

Подсказка. Примени тождество к каждому слагаемому.

Как решать. Каждый логарифм равен своему показателю: 3 + 5.

Ответ: 8

Пример 11. Вычисли: $5^{l o g_{5} 8}$ . В ответ запиши число.

Подсказка. Степень и логарифм с одинаковым основанием взаимно уничтожаются.

Как решать. Основное логарифмическое тождество: $a^{l o g_{a} b} = b$ , ответ 8.

Ответ: 8

Пример 12. Вычисли: $lo g_{2} 2^{4} + lo g_{2} 2^{5}$ .

Подсказка. Примени тождество к каждому слагаемому.

Как решать. Каждый логарифм равен своему показателю: 4 + 5.

Ответ: 9

Вопросы для повторения темы

Контрольные вопросы по «Логарифмы и их свойства» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.

Вопрос 1. Вычисли $lo g_{2} 32$ .

Ответ: 5

Пояснение. $2^{5} = 32$ , поэтому логарифм равен 5.

Вопрос 2. Вычисли $lo g_{3} \frac{1}{9}$ .

Ответ: -3

Пояснение. $\frac{1}{9} = 3^{- 3}$ , значит логарифм равен -3.

Вопрос 3. Чему равно $lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{1}{3}$ ?

Ответ: 1

Пояснение. Сумма логарифмов — логарифм произведения: $lo g_{2} (6 \cdot \frac{1}{3}) = lo g_{2} 2 = 1$ .

Вопрос 4. Верно ли равенство $lo g_{2} (4 + 4) = lo g_{2} 4 + lo g_{2} 4$ ?

Ответ: Неверно

Пояснение. Слева $lo g_{2} 8 = 3$ , справа $2 + 2 = 4$ . Логарифм суммы не распадается на сумму логарифмов.

Вопрос 5. Вычисли $5^{l o g_{5} 7}$ .

Ответ: 7

Пояснение. Основное логарифмическое тождество: $a^{l o g_{a} b} = b$ .

Вопрос 6. Соедини логарифм и его значение.

Пояснение. 8 = 2^3, 27 = 3^3, 100 = 10^2 — логарифм и ищет эти показатели.

Вопрос 7. Разложи логарифмы по существованию.

Пояснение. Под логарифмом должно стоять положительное число. Ноль и отрицательные запрещены при любом положительном основании, а дробный аргумент 0,25 = 2⁻² вполне допустим.

Вопрос 8. Дополни свойства логарифмов.

Ответ: сумме → 0

Пояснение. log_a(xy) = log_a x + log_a y — работает только для произведения и частного, но не для суммы. Логарифм единицы всегда ноль.

Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по алгебре — новое каждый день.

Тренировка

Разбор примеров из тренажёра

Пример 1. Вычисли: log4​43. В ответ запиши число.

Пример 2. Вычисли: 2log2​8. В ответ запиши число.

Пример 3. Вычисли: log4​43+log4​43.

Пример 4. Вычисли: log2​26. В ответ запиши число.

Пример 5. Вычисли: 5log5​9. В ответ запиши число.

Пример 6. Вычисли: log2​23+log2​22.

Пример 7. Вычисли: log3​36. В ответ запиши число.

Пример 8. Вычисли: 3log3​5. В ответ запиши число.

Пример 9. Вычисли: log4​42+log4​43.

Пример 10. Вычисли: log5​53+log5​55.

Пример 11. Вычисли: 5log5​8. В ответ запиши число.

Пример 12. Вычисли: log2​24+log2​25.

Вопросы для повторения темы

Вопрос 1. Вычисли log2​32.

Вопрос 2. Вычисли log3​91​.

Вопрос 3. Чему равно log2​6+log2​31​?

Вопрос 4. Верно ли равенство log2​(4+4)=log2​4+log2​4?

Вопрос 5. Вычисли 5log5​7.

Вопрос 6. Соедини логарифм и его значение.

Вопрос 7. Разложи логарифмы по существованию.

Вопрос 8. Дополни свойства логарифмов.

Пример 1. Вычисли: $lo g_{4} 4^{3}$ . В ответ запиши число.

Пример 2. Вычисли: $2^{l o g_{2} 8}$ . В ответ запиши число.

Пример 3. Вычисли: $lo g_{4} 4^{3} + lo g_{4} 4^{3}$ .

Пример 4. Вычисли: $lo g_{2} 2^{6}$ . В ответ запиши число.

Пример 5. Вычисли: $5^{l o g_{5} 9}$ . В ответ запиши число.

Пример 6. Вычисли: $lo g_{2} 2^{3} + lo g_{2} 2^{2}$ .

Пример 7. Вычисли: $lo g_{3} 3^{6}$ . В ответ запиши число.

Пример 8. Вычисли: $3^{l o g_{3} 5}$ . В ответ запиши число.

Пример 9. Вычисли: $lo g_{4} 4^{2} + lo g_{4} 4^{3}$ .

Пример 10. Вычисли: $lo g_{5} 5^{3} + lo g_{5} 5^{5}$ .

Пример 11. Вычисли: $5^{l o g_{5} 8}$ . В ответ запиши число.

Пример 12. Вычисли: $lo g_{2} 2^{4} + lo g_{2} 2^{5}$ .

Вопрос 1. Вычисли $lo g_{2} 32$ .

Вопрос 2. Вычисли $lo g_{3} \frac{1}{9}$ .

Вопрос 3. Чему равно $lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{1}{3}$ ?

Вопрос 4. Верно ли равенство $lo g_{2} (4 + 4) = lo g_{2} 4 + lo g_{2} 4$ ?

Вопрос 5. Вычисли $5^{l o g_{5} 7}$ .