Производная: смысл и правила вычисления — тренажёр

Пример 1. Найди f′(6), если f(x) = x².

Подсказка. Сначала найди производную, потом подставь число.

Как решать. f′(x) = 2x, значит f′(6) = 2·6.

Ответ: 12

Пример 2. Найди f′(4), если f(x) = 2x³.

Подсказка. (x³)′ = 3x², константа выносится вперёд.

Как решать. f′(x) = 3·2·x², подставляем x = 4: 3·2·4².

Ответ: 96

Пример 3. Тело движется по закону s(t) = 4t² + 5t (метры). Найди скорость в момент t = 3 с.

Подсказка. v(t) = s′(t).

Как решать. Скорость — производная пути: v(t) = 2·4·t + 5. При t = 3 получаем 2·4·3 + 5.

Ответ: 29

Пример 4. Найди f′(2), если f(x) = x².

Подсказка. Сначала найди производную, потом подставь число.

Как решать. f′(x) = 2x, значит f′(2) = 2·2.

Ответ: 4

Пример 5. Найди f′(4), если f(x) = 5x³.

Подсказка. (x³)′ = 3x², константа выносится вперёд.

Как решать. f′(x) = 3·5·x², подставляем x = 4: 3·5·4².

Ответ: 240

Пример 6. Тело движется по закону s(t) = 3t² + 2t (метры). Найди скорость в момент t = 4 с.

Подсказка. v(t) = s′(t).

Как решать. Скорость — производная пути: v(t) = 2·3·t + 2. При t = 4 получаем 2·3·4 + 2.

Ответ: 26

Пример 7. Найди f′(5), если f(x) = x².

Подсказка. Сначала найди производную, потом подставь число.

Как решать. f′(x) = 2x, значит f′(5) = 2·5.

Ответ: 10

Пример 8. Найди f′(2), если f(x) = 3x³.

Подсказка. (x³)′ = 3x², константа выносится вперёд.

Как решать. f′(x) = 3·3·x², подставляем x = 2: 3·3·2².

Ответ: 36

Пример 9. Тело движется по закону s(t) = 4t² + 5t (метры). Найди скорость в момент t = 1 с.

Подсказка. v(t) = s′(t).

Как решать. Скорость — производная пути: v(t) = 2·4·t + 5. При t = 1 получаем 2·4·1 + 5.

Ответ: 13

Пример 10. Найди f′(7), если f(x) = x².

Подсказка. Сначала найди производную, потом подставь число.

Как решать. f′(x) = 2x, значит f′(7) = 2·7.

Ответ: 14

Пример 11. Тело движется по закону s(t) = 5t² + 9t (метры). Найди скорость в момент t = 2 с.

Подсказка. v(t) = s′(t).

Как решать. Скорость — производная пути: v(t) = 2·5·t + 9. При t = 2 получаем 2·5·2 + 9.

Ответ: 29

Пример 12. Тело движется по закону s(t) = 2t² + 8t (метры). Найди скорость в момент t = 5 с.

Подсказка. v(t) = s′(t).

Как решать. Скорость — производная пути: v(t) = 2·2·t + 8. При t = 5 получаем 2·2·5 + 8.

Ответ: 28

Вопрос 1. Верно ли: производная постоянной равна нулю?

Ответ: Верно

Пояснение. Константа не меняется ни в одной точке, скорость её изменения нулевая: (7)′ = 0.

Вопрос 2. Найди f′(2), если f(x) = x³.

Ответ: 12

Пояснение. f′(x) = 3x², значит f′(2) = 3·4 = 12.

Вопрос 3. Чему равна (x⁴)′?

Ответ: $4x^3$

Пояснение. Показатель 4 выносится вперёд и уменьшается на единицу: 4x³.

Вопрос 4. Найди f′(1), если f(x) = 5x² + 3x.

Ответ: 13

Пояснение. f′(x) = 10x + 3, при x = 1 получаем 13.

Вопрос 5. Какие утверждения верны?

Ответ: (x)′ = 1; (−x)′ = −1

Пояснение. Производная x равна 1, у −x равна −1. А вот (3)′ = 0, и (x²)′ = 2x, а не просто 2.

Вопрос 6. Сопоставь функцию и её производную.

Пояснение. Табличные производные — база: без них не решится ни одна задача на производную.

Вопрос 7. Разложи функции по их производной.

Пояснение. У константы и линейной функции производная постоянна: 0 и 7. У x² и x³ производная зависит от x: 2x и 3x².

Вопрос 8. Дополни правило степенной производной.

Ответ: 1 → 0

Пояснение. Пример: (x⁴)′ = 4x³. Константа не меняется, её скорость изменения — ноль.