Тригонометрические неравенства 10 класс: решения — тренажёр

Пример 1. Точка на единичной окружности повернулась на 5 полных оборота и ещё на 2·90°. Запиши итоговый угол поворота в градусах.

Подсказка. Полный оборот — это 360°, четверть оборота — 90°.

Как решать. Полные обороты дают 5·360°, плюс 2·90°: итого 5·360 + 2·90 градусов.

Ответ: 1980

Пример 2. Дуга решений неравенства занимает 4·30° одного оборота, остальная часть оборота — решения противоположного неравенства. Сколько градусов приходится на противоположную часть?

Подсказка. Из полного оборота вычти дугу решений.

Как решать. Весь оборот — 360°. Дуга решений занимает 4·30°, значит на остальную часть остаётся 360 − 4·30 градусов.

Ответ: 240

Пример 3. При решении дуга на окружности ведётся от меньшей границы к большей. Запиши одним словом направление движения по окружности.

Подсказка. Сравни с направлением роста угла на окружности.

Как решать. Дуга ведётся против часовой стрелки: иначе попадёшь в противоположную часть окружности и решение перевернётся.

Ответ: против

Пример 4. Точка на единичной окружности повернулась на 3 полных оборота и ещё на 4·90°. Запиши итоговый угол поворота в градусах.

Подсказка. Полный оборот — это 360°, четверть оборота — 90°.

Как решать. Полные обороты дают 3·360°, плюс 4·90°: итого 3·360 + 4·90 градусов.

Ответ: 1440

Пример 5. Дуга решений неравенства занимает 7·30° одного оборота, остальная часть оборота — решения противоположного неравенства. Сколько градусов приходится на противоположную часть?

Подсказка. Из полного оборота вычти дугу решений.

Как решать. Весь оборот — 360°. Дуга решений занимает 7·30°, значит на остальную часть остаётся 360 − 7·30 градусов.

Ответ: 150

Пример 6. Точка на единичной окружности повернулась на 4 полных оборота и ещё на 4·90°. Запиши итоговый угол поворота в градусах.

Подсказка. Полный оборот — это 360°, четверть оборота — 90°.

Как решать. Полные обороты дают 4·360°, плюс 4·90°: итого 4·360 + 4·90 градусов.

Ответ: 1800

Пример 7. Дуга решений неравенства занимает 6·30° одного оборота, остальная часть оборота — решения противоположного неравенства. Сколько градусов приходится на противоположную часть?

Подсказка. Из полного оборота вычти дугу решений.

Как решать. Весь оборот — 360°. Дуга решений занимает 6·30°, значит на остальную часть остаётся 360 − 6·30 градусов.

Ответ: 180

Пример 8. Точка на единичной окружности повернулась на 5 полных оборота и ещё на 1·90°. Запиши итоговый угол поворота в градусах.

Подсказка. Полный оборот — это 360°, четверть оборота — 90°.

Как решать. Полные обороты дают 5·360°, плюс 1·90°: итого 5·360 + 1·90 градусов.

Ответ: 1890

Пример 9. Дуга решений неравенства занимает 8·30° одного оборота, остальная часть оборота — решения противоположного неравенства. Сколько градусов приходится на противоположную часть?

Подсказка. Из полного оборота вычти дугу решений.

Как решать. Весь оборот — 360°. Дуга решений занимает 8·30°, значит на остальную часть остаётся 360 − 8·30 градусов.

Ответ: 120

Вопрос 1. Сколько границ у дуги решения неравенства sin t > 0,5 на одном обороте окружности?

Ответ: 2

Пояснение. Границы дуги — это два корня уравнения sin t = 0,5: точки π/6 и 5π/6.

Вопрос 2. Какая дуга решает неравенство cos t > 0,5 при одном обороте?

Ответ: от −π/3 до π/3 через правый край

Пояснение. arccos 0,5 = π/3, дуга косинусов симметрична относительно горизонтальной оси и обнимает правый край: от −π/3 до π/3.

Вопрос 3. Неравенство sin t < 1,5 выполняется при любом t.

Ответ: Верно

Пояснение. Да: синус не бывает больше 1, поэтому любая точка прямой подходит — проверять окружность не нужно.

Вопрос 4. Что нужно сделать, чтобы решить неравенство 2sin²t − sin t < 0?

Ответ: ввести замену u = sin t; решить квадратное неравенство относительно u; отбросить значения u вне отрезка от −1 до 1

Пояснение. Замена и квадратное неравенство дают интервалы для u, а фильтр области значений выбрасывает невозможные значения. Умножать на sin t нельзя — знак неопределён.

Вопрос 5. Расставь шаги решения sin t > a по порядку.

Ответ: решить уравнение sin t = a и найти границы → выделить дугу против часовой стрелки → записать серию решений с периодом 2πn → проверить контрольную точку внутри дуги

Пояснение. Границы уравнением, затем дуга против часовой, затем серия с периодом, и в конце проверка контрольной точкой.

Вопрос 6. Сопоставь неравенство и форму его решения на одном обороте.

Пояснение. У каждого неравенства своя дуга; при a вне отрезка от −1 до 1 возможен пустой или полный ответ.

Вопрос 7. Дополни.

Ответ: арксинус → 2π

Пояснение. Арксинус возвращает углы на отрезке от −π/2 до π/2, а повторение у синуса идёт через полный оборот 2π.