Алгебра · 9 классурок · 2026-09-29~8 мин чтения

Уравнения и неравенства с двумя переменными — алгебра 9 класс: графики, окружность, системы

Уравнение с двумя переменными и его график: прямая, окружность и парабола на плоскости; системы второй степени графически и подстановкой, неравенства с двумя переменными и штриховка областей — с задачей про периметр и диагональ грядки.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Хозяин дачного участка натягивает шнур по периметру прямоугольной грядки: вышло ровно 34 метра. Бабушка просит проверить и диагональ — шнур из угла в угол показал 13 метров. Стороны грядки неизвестны, и одной переменной здесь не обойтись: длина и ширина связаны сразу двумя условиями. Придётся записать два уравнения, каждое с двумя переменными, и найти пары чисел, подходящие обоим сразу. Так работает моделирование в алгебре: цена и количество покупки, длина и ширина участка, скорости двух поездов — всё это уравнения и системы с двумя переменными. Разберёмся, что считать решением такого уравнения, как выглядят его графики — прямая, окружность, парабола — и как неравенства задают целые области на плоскости. Грядку посчитаем по пути.

Уравнение с двумя переменными и его решение

Уравнение с двумя переменными — равенство, в которое входят две переменные, например $2 x + 3 y = 12$ . Решить его — значит найти все пары чисел $(x; y)$ , при которых равенство верно. Пара (3; 2) подходит: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ . Пара (0; 4) тоже: снова двенадцать. Пара (1; 2) — мимо: $2 + 6 = 8$ . У такого уравнения бесконечно много решений: выбери любой x — и y досчитается из уравнения. Именно поэтому ответом служит не число, а график: множество всех подходящих точек плоскости. Формулировку стоит запомнить, её спрашивают почти дословно: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство.

Самый важный для практики случай — линейное уравнение $a x + b y = c$ , где коэффициенты не равны нулю одновременно. Его график — прямая. Чтобы это увидеть, выразим y: при b, не равном нулю, $y = \frac{c - a x}{b}$ — линейная функция с наклоном $- \frac{a}{b}$ . Строить прямую удобнее всего по двум точкам — пересечениям с осями. Для $2 x + 3 y = 12$ : возьми x = 0 и получи y = 4 — точка (0; 4); возьми y = 0 и получи x = 6 — точка (6; 0). Провёл прямую через две точки — график готов, таблица значений не нужна. Если a = 0, остаётся $b y = c$ — горизонтальная прямая. Если b = 0, выходит $x = \frac{c}{a}$ — вертикальная прямая: одному значению x отвечает бесконечно много точек, так что это график уравнения, но не функции.

y = ((12)-(2)·x)/(3)

a2b3c12

Прямая из уравнения ax + by = c

Стартовые коэффициенты дают уравнение 2x + 3y = 12 из текста. Убери a в ноль — прямая ляжет горизонтально; покрути c — прямая поедет вверх и вниз, оставаясь параллельной себе.

Окружность на координатной плоскости

Вторая степень приносит на плоскость кривые. Возьмём точку $(x; y)$ и спросим: где живут точки, удалённые от $(a; b)$ ровно на расстояние r? Расстояние между точками считается по теореме Пифагора: складываем квадраты разностей координат. Равенство этого расстояния числу r и есть уравнение окружности. У $x^{2} + y^{2} = 25$ центр в начале координат и радиус пять: точки (3; 4) и (−4; 3) лежат на окружности, потому что $9 + 16 = 25$ , а точка (2; 2) — внутри: восемь меньше двадцати пяти. Уравнение $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9$ описывает окружность с центром (2; −3) и радиусом три. Знаки в скобках читаются наоборот: плюс у x означает отрицательную абсциссу центра, минус у y — положительную ординату.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом r

Системы уравнений: прямая встречает параболу

Когда условия накладываются вместе, получается система уравнений: ищем пары чисел, подходящие каждому уравнению одновременно. На графике такие пары — общие точки двух линий, поэтому число решений системы равно числу точек пересечения. Прямая и парабола встречаются по-разному: секущая пересекает параболу в двух точках — два решения; касательная касается в одной — одно решение; прямая прошла мимо — решений нет. То же с окружностью: прямая через центр даёт две точки, касательная — одну, а линия, стоящая от центра дальше радиуса, — ни одной. У системы из двух уравнений второй степени точек пересечения может быть до четырёх.

Взаимное расположение прямой и параболы	Общих точек	Решений системы
секущая — пересекает в двух местах	2	два
касательная — одно касание	1	одно
прямая прошла мимо параболы	0	нет

Алгебра отвечает тем же числом. Возьмём систему из окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ и прямой $y = x + 1$ : подставь $x + 1$ вместо y — выйдет $x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$ , а после упрощения $x^{2} + x - 12 = 0$ с корнями 3 и −4. Вернись к линейному уравнению — получишь точки (3; 4) и (−4; −3), обе на окружности и обе на прямой: два решения, ровно сколько обещала картинка секущей. Обрати внимание, как одна и та же подстановка работает и для грядки, и для кривых: линейное уравнение всегда готово отдать свою переменную в чужое уравнение.

Метод подстановки: линейное плюс квадратное

Рисунок подсказывает число решений, но точные пары чисел даёт алгебра. Для системы из линейного уравнения и уравнения второй степени работает метод подстановки: вырази из линейного уравнения одну переменную и подставь полученное выражение в квадратное. Вернёмся к грядке: периметр 34 метра, диагональ 13 метров.

Система про грядку: находим стороны

Обозначь стороны a и b. Периметр — две длины плюс две ширины, значит на сумму сторон остаётся семнадцать.
$a + b = 17$
Диагональ режет грядку на два прямоугольных треугольника: работает теорема Пифагора.
$a^{2} + b^{2} = 1 3^{2} = 169$
Вырази b из первого уравнения и подставь во второе.
$b = 17 - a \Rightarrow a^{2} + (17 - a)^{2} = 169$
Раскрой скобки и приведи подобные: слагаемые с квадратом соберутся в одно.
$2 a^{2} - 34 a + 120 = 0$
Раздели всё на два и найди корни: сумма 17, произведение 60 — это числа 12 и 5.
$a^{2} - 17 a + 60 = 0, a = 12, a = 5$
Вторую переменную досчитаем из линейного уравнения: при a = 12 выходит b = 5, при a = 5 выходит b = 12 — одна и та же пара. Стороны грядки 12 м и 5 м; проверка: 144 + 25 = 169, корень из 169 равен 13.

a^{2} + (17 - a)^{2} = 169

Подстановка: вместо b в квадратное уравнение подставлено выражение 17 − a

Алгоритм подстановки всегда одинаковый. Первый шаг — выразить из линейного уравнения ту переменную, у которой коэффициент попроще. Второй — подставить выражение во второе уравнение и получить квадратное относительно одной буквы. Третий — решить его через дискриминант или теорему Виета. Четвёртый — каждый корень вернуть в линейное уравнение и найти вторую переменную. В ответе обычно одна или две пары чисел. Ответ, снятый с чертежа, бывает приближённым: глаз не отличит x = 2 от x = 2,1, поэтому графический метод проверяют подстановкой в оба уравнения.

Неравенства с двумя переменными и области

Замени в уравнении знак равенства знаком неравенства — и графиком станет уже не линия, а целая часть плоскости. Решением неравенства с двумя переменными $y > f (x)$ называют множество точек, лежащих выше графика f: подними взгляд от кривой вверх — там неравенство выполняется. Границу рисуют пунктиром при строгом знаке и сплошной линией при нестрогом, ведь точки границы строгому неравенству не принадлежат. Какую из двух областей штриховать, подскажет пробная точка: подставь (0; 0), если граница её не захватывает. Для $y > x^{2}$ пробуем (0; 1): единица больше нуля — заштриховано внутри чашки параболы. А для $x^{2} + y^{2} < 16$ решением будет внутренность круга радиуса четыре без самой окружности: ноль меньше шестнадцати, значит центр внутри.

Утверждение 1 из 5

Пара (3; 2) — решение уравнения 2x + 3y = 12

Верно или нет?

Пять утверждений перед тестом

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 6

Термины

Определения

Собери пары

Соедини термин с определением

Уравнение с двумя переменными#: равенство с двумя неизвестными; его решение — пара чисел
График уравнения#: множество точек плоскости, чьи координаты — решения уравнения
Система уравнений#: несколько уравнений с общими неизвестными; решение — общие пары
Уравнение окружности#: (x − a)² + (y − b)² = r², центр (a; b), радиус r
Область решения неравенства#: часть плоскости с пунктирной или сплошной границей

Дальше — тест и тренажёр. Уравнения с двумя переменными приходят на ОГЭ в задачах про графики и во второй части, где спрашивают число решений или просят составить систему по условию. В старших классах тема вырастет в аналитическую геометрию: расстояние между точками, касательная к окружности, пересечения кривых. Потренируйся дома: измерь у любой комнаты периметр и диагональ рулеткой и найди её длину и ширину подстановкой — числа будут крупнее грядки, но схема та же.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Пара (3; y) — решение уравнения 2x + 3y = 12. Найди y. Запиши только число.

Что является графиком уравнения ax + by = c, если коэффициенты a и b не равны нулю одновременно?

Точка (1; 1) лежит на окружности x² + y² = 4.

Выбери все верные утверждения про уравнение (x − a)² + (y − b)² = r².

Расставь шаги решения системы «линейное плюс квадратное» методом подстановки.

Сопоставь уравнение и его график.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Дополни предложение.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

График линейного уравнения с двумя переменными — это , график уравнения (x − a)² + (y − b)² = r² — , а решением неравенства y > f(x) служит область графика f.

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Пара значений переменных, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство. Например, для 2x + 3y = 12 это пары (0; 4) и (3; 2), и таких пар бесконечно много.

Как быстро построить график уравнения ax + by = c?

Найди две точки пересечения с осями: подставь x = 0, затем y = 0. Проведи через них прямую — это и есть график.

Сколько решений может иметь система из прямой и параболы?

От нуля до двух — столько, сколько общих точек у графиков. Секущая даёт два решения, касательная — одно, а прямая, прошедшая мимо параболы, не даёт ни одного.

Как понять, какую область заштриховать в неравенстве с двумя переменными?

Подставь пробную точку, например (0; 0), если она не лежит на границе. Неравенство выполнилось — штрихуй область с этой точкой; не выполнилось — противоположную.