Уравнения и неравенства с двумя переменными — алгебра 9 класс: графики, окружность, системы — тренажёр
Тренировка по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными — алгебра 9 класс: графики, окружность, системы»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Пара (4; 6) — решение уравнения x² + y² = c. Найди c. Запиши только число.
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
11 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Пара (4; 3) — решение уравнения x² + y² = c. Найди c. Запиши только число.
Подсказка. Сложи квадраты координат точки.
Как решать. Подставим координаты: c = 4² + 3² = 4·4 + 3·3.
Ответ: 25
Пример 2. Прямая задана уравнением y = 1x + 8. Найди ординату точки этой прямой с абсциссой 4. Запиши только число.
Подсказка. Умножь наклон на абсциссу и прибавь сдвиг.
Как решать. Подставим абсциссу в уравнение: y = 1·4 + 8.
Ответ: 12
Пример 3. Прямая пересекает параболу ровно в двух точках. Сколько решений имеет система из уравнений этой прямой и этой параболы? Ответ запиши словом.
Как решать. Каждая общая точка двух графиков даёт одно решение системы: две точки пересечения — два решения.
Ответ: два
Пример 4. Пара (1; 6) — решение уравнения x² + y² = c. Найди c. Запиши только число.
Подсказка. Сложи квадраты координат точки.
Как решать. Подставим координаты: c = 1² + 6² = 1·1 + 6·6.
Ответ: 37
Пример 5. Прямая задана уравнением y = 4x + 9. Найди ординату точки этой прямой с абсциссой 4. Запиши только число.
Подсказка. Умножь наклон на абсциссу и прибавь сдвиг.
Как решать. Подставим абсциссу в уравнение: y = 4·4 + 9.
Ответ: 25
Пример 6. Пара (3; 5) — решение уравнения x² + y² = c. Найди c. Запиши только число.
Подсказка. Сложи квадраты координат точки.
Как решать. Подставим координаты: c = 3² + 5² = 3·3 + 5·5.
Ответ: 34
Пример 7. Прямая задана уравнением y = 3x + 5. Найди ординату точки этой прямой с абсциссой 1. Запиши только число.
Подсказка. Умножь наклон на абсциссу и прибавь сдвиг.
Как решать. Подставим абсциссу в уравнение: y = 3·1 + 5.
Ответ: 8
Пример 8. Пара (5; 2) — решение уравнения x² + y² = c. Найди c. Запиши только число.
Подсказка. Сложи квадраты координат точки.
Как решать. Подставим координаты: c = 5² + 2² = 5·5 + 2·2.
Ответ: 29
Пример 9. Прямая задана уравнением y = 5x + 9. Найди ординату точки этой прямой с абсциссой 1. Запиши только число.
Подсказка. Умножь наклон на абсциссу и прибавь сдвиг.
Как решать. Подставим абсциссу в уравнение: y = 5·1 + 9.
Ответ: 14
Пример 10. Пара (4; 2) — решение уравнения x² + y² = c. Найди c. Запиши только число.
Подсказка. Сложи квадраты координат точки.
Как решать. Подставим координаты: c = 4² + 2² = 4·4 + 2·2.
Ответ: 20
Пример 11. Прямая задана уравнением y = 5x + 8. Найди ординату точки этой прямой с абсциссой 5. Запиши только число.
Подсказка. Умножь наклон на абсциссу и прибавь сдвиг.
Как решать. Подставим абсциссу в уравнение: y = 5·5 + 8.
Ответ: 33
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Уравнения и неравенства с двумя переменными — алгебра 9 класс: графики, окружность, системы» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Пара (3; y) — решение уравнения 2x + 3y = 12. Найди y. Запиши только число.
Ответ: 2
Пояснение. Подставим x = 3: 2·3 + 3y = 12, откуда 3y = 6 и y = 2.
Вопрос 2. Что является графиком уравнения ax + by = c, если коэффициенты a и b не равны нулю одновременно?
Ответ: прямая
Пояснение. Линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую. Парабола и гипербола — графики функций второй и обратной степеней.
Вопрос 3. Точка (1; 1) лежит на окружности x² + y² = 4.
Ответ: Неверно
Пояснение. Сумма квадратов координат равна двум, а не четырём: точка лежит внутри окружности, но не на ней.
Вопрос 4. Выбери все верные утверждения про уравнение (x − a)² + (y − b)² = r².
Ответ: центр окружности — точка (a; b); радиус равен r
Пояснение. Это уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом r. Центр совпадает с началом координат только при a = b = 0, а прямая — график линейного уравнения.
Вопрос 5. Расставь шаги решения системы «линейное плюс квадратное» методом подстановки.
Ответ: выразить из линейного уравнения одну переменную → решить квадратное уравнение и найти корни → вернуть корни в линейное уравнение и найти вторую переменную
Пояснение. Сначала выражаем переменную из линейного уравнения, затем подставляем в квадратное и решаем его, после чего возвращаемся за второй переменной.
Вопрос 6. Сопоставь уравнение и его график.
Пояснение. Линейное уравнение рисует прямую, сумма квадратов координат — окружность, функция второй степени — параболу, а неравенство задаёт полуплоскость.
Вопрос 7. Дополни предложение.
Ответ: прямая → окружность → выше
Пояснение. Линейное уравнение задаёт прямую, уравнение с квадратами координат — окружность, а строгое неравенство y > f(x) — область выше графика без самой границы.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по алгебре — новое каждый день.