Гайд2026-09-01

Шпаргалка по математике 7 класс: все формулы алгебры и геометрии

Q: Почему нельзя разложить сумму квадратов на множители?

Формула разности квадратов требует именно разности: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Для суммы $a^2 + b^2$ разложения на линейные множители в школьном курсе нет, поэтому раскрытие «по аналогии» — типичная ошибка, за которую снимают баллы.

Вся математика седьмого класса в таблицах: степени и одночлены, формулы сокращённого умножения, уравнения и графики, углы и треугольники. Каждая формула — с колонкой «где ошибаются».

Седьмой класс — переломный год: математика окончательно делится на алгебру и геометрию, и оценку теперь ставят по двум разным предметам. В алгебре появляются буквы вместо чисел: степени, одночлены, многочлены и формулы сокращённого умножения, которые будут работать до самого конца школы. В геометрии впервые нужно не столько считать, сколько доказывать, и даже устный факт требуется обосновать. Шпаргалка ниже собрана именно под контрольные: слева — что искать, в середине — формула или правило, справа — место, где теряют баллы чаще всего. Работай с таблицами так: закрой правую колонку листом бумаги, пробеги глазами левую и попробуй вспомнить формулу вместе с типичной ошибкой — на контрольной она встретится именно там. Такой прогон накануне работы занимает полчаса, а большинство ловушек после него встречает как старых знакомых.

Степени, одночлены и многочлены

Степень — короткая запись умножения одинаковых множителей: $a^{n}$ означает, что число $a$ умножили само на себя $n$ раз. Все свойства степеней выводятся из этого определения, поэтому их не нужно зубрить. При умножении степеней множители просто выстраиваются в один ряд, и общее количество букв складывается: три четвёрки плюс пять четвёрок — восемь четвёрок. При возведении степени в степень множители группируются, и показатели перемножаются. При делении часть множителей сокращается, и показатели вычитаются. Одночлен — произведение числа и степеней переменных: у него есть коэффициент, числовой множитель, и степень — сумма показателей всех переменных. Многочлен — сумма одночленов, и работа с ним сводится к раскрытию скобок и приведению подобных: подобные — слагаемые с одинаковой буквенной частью, у них складывают только коэффициенты.

Что ищем	Формула	Где ошибаются
Умножение степеней	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	показатели не умножаются, а складываются: $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$
Деление степеней	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	теряют минус в показателе: $a^{5} : a^{7} = a^{- 2}$ , а не $a^{2}$
Степень степени	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	перемножают показатели, а не складывают
Степень произведения	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	сумма в скобках не возводится почленно: $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$
Нулевая степень	$a^{0} = 1$ при $a \neq = 0$	запись $0^{0}$ смысла не имеет
Степень одночлена	сумма показателей всех переменных	числовой коэффициент в степень одночлена не входит

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — главный инструмент седьмого класса: без них раскрытие скобок превращается в длинное перемножение многочленов, а разложение на множители вообще не получается. Название честное: формулы позволяют сократить работу и сразу записать результат. Квадрат суммы выводится из площади квадрата со стороной $a + b$ : четыре части разрезанного квадрата дают ровно $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , поэтому удвоенное произведение в середине нельзя забывать — это самое частое место ошибки. Разность квадратов читается в обе стороны: слева направо — умножение, справа налево — разложение. Кубы встречаются реже, но их полезно держать под рукой: коэффициенты три в кубах легко потерять, а знаки в сумме и разности кубов перепутать.

Название	Формула	Где ошибаются
Квадрат суммы	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$	забывают удвоенное произведение $2 ab$
Квадрат разности	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$	ставят минусы везде: верен только средний
Разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	для суммы квадратов такой формулы нет: $a^{2} + b^{2}$ не раскладывается
Куб суммы	$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	теряют коэффициенты три
Сумма кубов	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$	вторая скобка не является квадратом суммы
Разность кубов	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$	путают знаки с суммой кубов

Уравнения, функции и системы

Линейное уравнение решается по одной схеме: раскрыть скобки, перенести слагаемые с неизвестным влево, без неизвестного — вправо, поменяв у переносимых знаки, привести подобные и разделить обе части на коэффициент. Делить осторожно: если коэффициент отрицательный, знак правой части меняется. Если уравнение свелось к виду $0 x = 5$ , корней нет вовсе, а если к виду $0 x = 0$ , решением будет любое число — оба случая в седьмом классе любят спрашивать. Линейная функция $y = k x + b$ задаёт прямую: коэффициент $k$ отвечает за наклон, чем он больше, тем круче график идёт вверх, отрицательный $k$ кладёт прямую вниз, а $b$ показывает, где график пересекает ось $y$ . Система двух уравнений — поиск точки, в которой прямые пересекаются: графически её видно, но точно решать лучше подстановкой или сложением. Ответ системы — всегда пара чисел, и классическая потеря баллов здесь двойная: сначала останавливаются после нахождения $x$ , забыв про $y$ , а затем не проверяют пару подстановкой в оба исходных уравнения. Проверка занимает минуту: если хотя бы одно уравнение не обратилось в верное равенство, где-то потерян минус — ищи его при переносе слагаемых или при делении на отрицательный коэффициент.

Объект	Правило	Где ошибаются
Перенос слагаемого	при переносе через знак равенства знак меняется	знак меняют не у всех переносимых слагаемых
Деление на коэффициент	обе части делятся на одно и то же число	при отрицательном коэффициенте теряют минус
Функция $y = k x$	прямая через начало координат	не замечают, что при $k = 0$ график сливается с осью $x$
Функция $y = k x + b$	наклон задаёт $k$ , сдвиг по вертикали — $b$	меняют местами роли $k$ и $b$
Метод подстановки	выразить переменную и подставить во второе уравнение	подставляют в то же уравнение, из которого выражали, и получают тавтологию
Метод сложения	сложить уравнения так, чтобы одна переменная исчезла	забывают умножить уравнение на число перед сложением

Геометрия: углы и треугольники

Геометрия седьмого класса стоит на нескольких опорных фактах, из которых вырастает всё остальное. Смежные углы — пара углов с общей стороной, чьи другие стороны образуют прямую: вместе они всегда дают 180°. Вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и равны, потому что каждый из них дополняет один и тот же угол до 180°. Сумма углов треугольника равна 180°, отсюда сразу два следствия: в треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов, а третий угол всегда находится вычитанием из 180°. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и свойство работает в обе стороны: равные углы при основании делают треугольник равнобедренным. Три признака равенства — по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам — позволяют доказать равенство треугольников, не измеряя все элементы.

Факт	Формулировка	Где ошибаются
Смежные углы	в сумме 180°	считают их равными: равенство бывает только у двух прямых углов
Вертикальные углы	равны друг другу	путают с смежными углами
Сумма углов треугольника	180°	третий угол ищут вычитанием из 360°
Внешний угол	равен сумме двух внутренних, не смежных с ним	вычитают из 180° и забывают про прямую связь с двумя углами
Равнобедренный треугольник	углы при основании равны	основание определяют наугад: его задаёт условие, а не картинка
Первый признак равенства	две стороны и угол между ними	берут угол, не лежащий между сторонами

Каждая таблица этой шпаргалки держится на теории, поэтому узкие места догоняй по урокам: свойства степеней — на /algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym/, одночлены и многочлены — на /algebra/7-klass/odnochleny-mnogochleny/, формулы сокращённого умножения с разбором ошибок — на /algebra/7-klass/formuly-sokrashenya/, а приёмы разложения — на /algebra/7-klass/razlozhenie-na-mnozhiteli/. Уравнения и графики тренируй на /algebra/7-klass/linejnye-uravneniya/ и /algebra/7-klass/linejnaya-funkciya/, системы — на /algebra/7-klass/sistemy-uravnenij/, где пару чисел удобно проверять и на калькуляторе /calc/sistema-2x2/. Геометрическая часть закрывается уроками /geometriya/7-klass/smezhnye-vertikalnye/ и /geometriya/7-klass/summa-uglov/, равнобедренный треугольник — на /geometriya/7-klass/ravnobedrennyj-treugolnik-7/, признаки равенства — на /geometriya/7-klass/pervyj-priznak/. Методика решения уравнений без привязки к классу разобрана в гайде /guides/kak-reshat-uravneniya/, а алгебраические тождества — в шпаргалке /guides/shpargalka-algebra-7/.

Мини-квиз на отдыхе

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Какой режим подготовки эффективнее?

Частые вопросы

Как быстро запомнить формулы сокращённого умножения?

Привяжи каждую к картинке: квадрат суммы — площади четырёх частей большого квадрата, разность квадратов — прямоугольник, разрезанный и переставленный. Затем прогоняй таблицу в обе стороны: сначала раскрыть скобки, потом свернуть обратно. Ошибка с забытым удвоенным произведением исчезает после пары десятков таких прогонов.

Чем смежные углы отличаются от вертикальных?

Смежные углы имеют общую сторону и вместе дают 180°, вертикальные возникают при пересечении двух прямых и равны между собой. На чертеже у вертикальных углов нет общей стороны, у смежных она есть — это самый быстрый способ различить их.

Почему нельзя разложить сумму квадратов на множители?

Формула разности квадратов требует именно разности: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Для суммы $a^{2} + b^{2}$ разложения на линейные множители в школьном курсе нет, поэтому раскрытие «по аналогии» — типичная ошибка, за которую снимают баллы.

Что делать, если в системе уравнений получились дроби?

Ничего страшного: перед подстановкой удобно умножить уравнение на общий знаменатель, а в конце обязательно проверить пару чисел подстановкой в оба уравнения. Если дроби возникают на каждом шаге, попробуй метод сложения — часто он убирает знаменатели раньше.