Испытания Бернулли и биномиальное распределение — тренажёр

Пример 1. В серии из 9 независимых испытаний ровно два завершились успехом. Сколько существует раскладок, при которых это происходит?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 9 по два.

Как решать. Два успеха занимают два места из 9: C(9,2) = 9·(9−1)/2.

Ответ: 36

Пример 2. В опросе участвуют 10 человек; каждый согласен с утверждением с вероятностью 0,3, ответы независимы. Сколько согласий следует ожидать в среднем?

Подсказка. Умножь число опрошенных 10 на вероятность 0,3.

Как решать. Число согласий биномиально: E(X) = np = 10 · 0,3 = 3·1.

Ответ: 3

Пример 3. Монету бросают 6·8 раз. Чему равна дисперсия числа орлов?

Подсказка. При p = 0,5 дисперсия равна четверти числа бросков.

Как решать. D(X) = np(1−p) = 6·8 · 0,5 · 0,5 = 2·6.

Ответ: 12

Пример 4. Монету бросают 15 раз. Сколько существует раскладок с ровно тремя орлами?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 15 по три.

Как решать. Три орла занимают три места из 15: C(15,3) = 15·(15−1)·(15−2)/6.

Ответ: 455

Пример 5. В серии из 3 независимых испытаний ровно два завершились успехом. Сколько существует раскладок, при которых это происходит?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 3 по два.

Как решать. Два успеха занимают два места из 3: C(3,2) = 3·(3−1)/2.

Ответ: 3

Пример 6. В опросе участвуют 70 человек; каждый согласен с утверждением с вероятностью 0,3, ответы независимы. Сколько согласий следует ожидать в среднем?

Подсказка. Умножь число опрошенных 70 на вероятность 0,3.

Как решать. Число согласий биномиально: E(X) = np = 70 · 0,3 = 3·7.

Ответ: 21

Пример 7. Монету бросают 2·8 раз. Чему равна дисперсия числа орлов?

Подсказка. При p = 0,5 дисперсия равна четверти числа бросков.

Как решать. D(X) = np(1−p) = 2·8 · 0,5 · 0,5 = 2·2.

Ответ: 4

Пример 8. Монету бросают 11 раз. Сколько существует раскладок с ровно тремя орлами?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 11 по три.

Как решать. Три орла занимают три места из 11: C(11,3) = 11·(11−1)·(11−2)/6.

Ответ: 165

Пример 9. В серии из 7 независимых испытаний ровно два завершились успехом. Сколько существует раскладок, при которых это происходит?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 7 по два.

Как решать. Два успеха занимают два места из 7: C(7,2) = 7·(7−1)/2.

Ответ: 21

Пример 10. В опросе участвуют 50 человек; каждый согласен с утверждением с вероятностью 0,3, ответы независимы. Сколько согласий следует ожидать в среднем?

Подсказка. Умножь число опрошенных 50 на вероятность 0,3.

Как решать. Число согласий биномиально: E(X) = np = 50 · 0,3 = 3·5.

Ответ: 15

Пример 11. Монету бросают 9 раз. Сколько существует раскладок с ровно тремя орлами?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 9 по три.

Как решать. Три орла занимают три места из 9: C(9,3) = 9·(9−1)·(9−2)/6.

Ответ: 84

Пример 12. В серии из 11 независимых испытаний ровно два завершились успехом. Сколько существует раскладок, при которых это происходит?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 11 по два.

Как решать. Два успеха занимают два места из 11: C(11,2) = 11·(11−1)/2.

Ответ: 55

Пример 13. В опросе участвуют 80 человек; каждый согласен с утверждением с вероятностью 0,3, ответы независимы. Сколько согласий следует ожидать в среднем?

Подсказка. Умножь число опрошенных 80 на вероятность 0,3.

Как решать. Число согласий биномиально: E(X) = np = 80 · 0,3 = 3·8.

Ответ: 24

Пример 14. Монету бросают 7·8 раз. Чему равна дисперсия числа орлов?

Подсказка. При p = 0,5 дисперсия равна четверти числа бросков.

Как решать. D(X) = np(1−p) = 7·8 · 0,5 · 0,5 = 2·7.

Ответ: 14

Пример 15. Монету бросают 4 раз. Сколько существует раскладок с ровно тремя орлами?

Подсказка. Число раскладок — это сочетание из 4 по три.

Как решать. Три орла занимают три места из 4: C(4,3) = 4·(4−1)·(4−2)/6.

Ответ: 4

Пример 16. В опросе участвуют 90 человек; каждый согласен с утверждением с вероятностью 0,3, ответы независимы. Сколько согласий следует ожидать в среднем?

Подсказка. Умножь число опрошенных 90 на вероятность 0,3.

Как решать. Число согласий биномиально: E(X) = np = 90 · 0,3 = 3·9.

Ответ: 27

Вопрос 1. Три выстрела, вероятность попадания 0,6. Чему равна вероятность P(X = 3)?

Ответ: 0,216

Пояснение. P(3) = C(3,3) · 0,6^3 · 0,4^0 = 1 · 0,216 · 1 = 0,216: раскладка одна, и это все три выстрела точные.

Вопрос 2. Серия из 10 испытаний, вероятность успеха 0,3. Какие утверждения верны?

Ответ: E(X) = 3; D(X) = 2,1; сумма вероятностей P(X = k) по всем k от 0 до 10 равна 1

Пояснение. E(X) = np = 10·0,3 = 3; D(X) = np(1−p) = 10·0,3·0,7 = 2,1; сумма всех вероятностей распределения всегда равна 1. Наибольшее вероятное k даёт (n+1)p = 3,3 — целая часть 3, а не 4.

Вопрос 3. В опросе 20 человек; каждый согласен с утверждением с вероятностью 0,4 независимо от остальных. Сколько согласий следует ожидать в среднем?

Ответ: 8

Пояснение. Число согласий биномиально с n = 20 и p = 0,4, поэтому E(X) = np = 20·0,4 = 8.

Вопрос 4. Шары вынимают из урны без возвращения — это схема Бернулли.

Ответ: Неверно

Пояснение. Без возвращения состав урны меняется, и вероятность успеха на каждом шаге другая. Схема Бернулли требует постоянства p, поэтому здесь нужна условная вероятность или дерево.

Вопрос 5. Контролёр проверяет 4 детали, каждая бракована с вероятностью 0,1. Расставь значения X по возрастанию их вероятности.

Ответ: X = 4 → X = 3 → X = 2 → X = 0

Пояснение. Из таблицы: P(4) = 0,0001, P(3) = 0,0036, P(2) = 0,0486, P(0) = 0,6561. Чем больше брака, тем реже, а чаще всего брака нет вовсе.

Вопрос 6. Соедини величину с её выражением.

Пояснение. Ожидание и дисперсия берутся из готовых правил, а формула Бернулли собирается из числа раскладок и вероятности одной из них.

Вопрос 7. Разложи опыты по корзинам.

Пояснение. Опрос, серия штрафных и серия бросков кубика независимы с постоянным p. Вытягивание без возвращения меняет вероятность на каждом шаге, поэтому это не Бернулли.