Нормальное распределение: правило сигм — тренажёр
Тренировка по теме «Нормальное распределение: правило сигм»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Рост девушек распределён нормально: среднее 162 см, сигма 3 см. Найди нижнюю границу интервала, в который попадает 95 процентов ростов (μ − 2σ).
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
18 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Рост девушек распределён нормально: среднее 176 см, сигма 4 см. Найди нижнюю границу интервала, в который попадает 95 процентов ростов (μ − 2σ).
Подсказка. 95 процентов накрывает μ ± 2σ.
Как решать. 95 процентов — это плюс-минус две сигмы. Нижняя граница: 176 − 2·4.
Ответ: 168
Пример 2. Масса пачки печенья распределена нормально: среднее 203 г, сигма 8 г. Найди верхнюю границу интервала, накрывающего 99,7 процента пачек (μ + 3σ).
Подсказка. 99,7 процента накрывает μ ± 3σ.
Как решать. 99,7 процента — это плюс-минус три сигмы. Верхняя граница: 203 + 3·8.
Ответ: 227
Пример 3. В группе средний рост 172 см, сигма 5 см. Рост Миши выше среднего на 2·σ. Найди рост Миши в сантиметрах.
Подсказка. Выше среднего на k сигм — это μ + k·σ.
Как решать. Отклонение от среднего равно 2·σ = 2·5 см, значит рост равен 172 + 2·5.
Ответ: 182
Пример 4. Завод отгрузил 9000 коробок сока; объём сока в коробке распределён нормально. Сколько коробок в среднем окажется вне интервала μ ± 3σ?
Подсказка. 0,3 процента от общего числа коробок.
Как решать. Вне трёх сигм у нормального распределения лежит 0,3 процента данных: 0,003 · 9000 = 3·9 коробок.
Ответ: 27
Пример 5. Рост девушек распределён нормально: среднее 162 см, сигма 9 см. Найди нижнюю границу интервала, в который попадает 95 процентов ростов (μ − 2σ).
Подсказка. 95 процентов накрывает μ ± 2σ.
Как решать. 95 процентов — это плюс-минус две сигмы. Нижняя граница: 162 − 2·9.
Ответ: 144
Пример 6. Масса пачки печенья распределена нормально: среднее 230 г, сигма 9 г. Найди верхнюю границу интервала, накрывающего 99,7 процента пачек (μ + 3σ).
Подсказка. 99,7 процента накрывает μ ± 3σ.
Как решать. 99,7 процента — это плюс-минус три сигмы. Верхняя граница: 230 + 3·9.
Ответ: 257
Пример 7. В группе средний рост 164 см, сигма 3 см. Рост Миши выше среднего на 3·σ. Найди рост Миши в сантиметрах.
Подсказка. Выше среднего на k сигм — это μ + k·σ.
Как решать. Отклонение от среднего равно 3·σ = 3·3 см, значит рост равен 164 + 3·3.
Ответ: 173
Пример 8. Завод отгрузил 6000 коробок сока; объём сока в коробке распределён нормально. Сколько коробок в среднем окажется вне интервала μ ± 3σ?
Подсказка. 0,3 процента от общего числа коробок.
Как решать. Вне трёх сигм у нормального распределения лежит 0,3 процента данных: 0,003 · 6000 = 3·6 коробок.
Ответ: 18
Пример 9. Рост девушек распределён нормально: среднее 172 см, сигма 8 см. Найди нижнюю границу интервала, в который попадает 95 процентов ростов (μ − 2σ).
Подсказка. 95 процентов накрывает μ ± 2σ.
Как решать. 95 процентов — это плюс-минус две сигмы. Нижняя граница: 172 − 2·8.
Ответ: 156
Пример 10. Масса пачки печенья распределена нормально: среднее 220 г, сигма 5 г. Найди верхнюю границу интервала, накрывающего 99,7 процента пачек (μ + 3σ).
Подсказка. 99,7 процента накрывает μ ± 3σ.
Как решать. 99,7 процента — это плюс-минус три сигмы. Верхняя граница: 220 + 3·5.
Ответ: 235
Пример 11. В группе средний рост 172 см, сигма 5 см. Рост Миши выше среднего на 1·σ. Найди рост Миши в сантиметрах.
Подсказка. Выше среднего на k сигм — это μ + k·σ.
Как решать. Отклонение от среднего равно 1·σ = 1·5 см, значит рост равен 172 + 1·5.
Ответ: 177
Пример 12. Рост девушек распределён нормально: среднее 181 см, сигма 2 см. Найди нижнюю границу интервала, в который попадает 95 процентов ростов (μ − 2σ).
Подсказка. 95 процентов накрывает μ ± 2σ.
Как решать. 95 процентов — это плюс-минус две сигмы. Нижняя граница: 181 − 2·2.
Ответ: 177
Пример 13. Масса пачки печенья распределена нормально: среднее 234 г, сигма 9 г. Найди верхнюю границу интервала, накрывающего 99,7 процента пачек (μ + 3σ).
Подсказка. 99,7 процента накрывает μ ± 3σ.
Как решать. 99,7 процента — это плюс-минус три сигмы. Верхняя граница: 234 + 3·9.
Ответ: 261
Пример 14. В группе средний рост 175 см, сигма 9 см. Рост Миши выше среднего на 2·σ. Найди рост Миши в сантиметрах.
Подсказка. Выше среднего на k сигм — это μ + k·σ.
Как решать. Отклонение от среднего равно 2·σ = 2·9 см, значит рост равен 175 + 2·9.
Ответ: 193
Пример 15. Завод отгрузил 2000 коробок сока; объём сока в коробке распределён нормально. Сколько коробок в среднем окажется вне интервала μ ± 3σ?
Подсказка. 0,3 процента от общего числа коробок.
Как решать. Вне трёх сигм у нормального распределения лежит 0,3 процента данных: 0,003 · 2000 = 3·2 коробок.
Ответ: 6
Пример 16. Рост девушек распределён нормально: среднее 176 см, сигма 3 см. Найди нижнюю границу интервала, в который попадает 95 процентов ростов (μ − 2σ).
Подсказка. 95 процентов накрывает μ ± 2σ.
Как решать. 95 процентов — это плюс-минус две сигмы. Нижняя граница: 176 − 2·3.
Ответ: 170
Пример 17. Масса пачки печенья распределена нормально: среднее 240 г, сигма 8 г. Найди верхнюю границу интервала, накрывающего 99,7 процента пачек (μ + 3σ).
Подсказка. 99,7 процента накрывает μ ± 3σ.
Как решать. 99,7 процента — это плюс-минус три сигмы. Верхняя граница: 240 + 3·8.
Ответ: 264
Пример 18. В группе средний рост 162 см, сигма 8 см. Рост Миши выше среднего на 4·σ. Найди рост Миши в сантиметрах.
Подсказка. Выше среднего на k сигм — это μ + k·σ.
Как решать. Отклонение от среднего равно 4·σ = 4·8 см, значит рост равен 162 + 4·8.
Ответ: 194
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Нормальное распределение: правило сигм» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Рост юношей распределён нормально: среднее 172 см, сигма 8 см. Какая доля юношей лежит в интервале от 164 до 180 см?
Ответ: около 68 процентов
Пояснение. Границы 164 и 180 — это μ − σ и μ + σ: 172 − 8 = 164, 172 + 8 = 180. Внутри одной сигмы у нормального распределения лежит около 68 процентов данных.
Вопрос 2. Какие утверждения о правиле сигм верны?
Ответ: внутри μ ± 2σ лежит около 95 процентов данных; сигма измеряется в тех же единицах, что и сами данные; у нормального распределения среднее и медиана совпадают
Пояснение. Верно про 95 процентов в двух сигмах, про единицы сигмы и про совпадение среднего с медианой у симметричного колокола. 100 процентов не бывает: хвосты бесконечны, вне трёх сигм остаётся 0,3 процента.
Вопрос 3. Масса пачки чая распределена нормально: среднее 500 г, сигма 10 г. Между какими границами лежит 95 процентов пачек? Введи нижнюю границу в граммах.
Ответ: 480
Пояснение. 95 процентов — это плюс-минус две сигмы: от 500 − 2·10 = 480 до 500 + 2·10 = 520 г. Нижняя граница равна 480.
Вопрос 4. Годовые доходы жителей города обычно распределены нормально, поэтому к ним применимо правило сигм.
Ответ: Неверно
Пояснение. Доходы перекошены: длинный правый хвост из высоких зарплат тянет среднее вверх, и оно уходит от медианы. Колокола нет, и правило 68-95-99,7 к таким данным не применяют — вместо него работают медиана и процентили.
Вопрос 5. Расставь значения по возрастанию z-оценки. Во всех тестах среднее μ = 80.
Ответ: x = 65, σ = 5 → x = 74, σ = 6 → x = 86, σ = 12 → x = 92, σ = 6
Пояснение. Считаем z = (x − μ)/σ: для 92 это 12 : 6 = 2; для 74 это −6 : 6 = −1; для 86 это 6 : 12 = 0,5; для 65 это −15 : 5 = −3. По возрастанию: −3, −1, 0,5, 2.
Вопрос 6. Соедини фрагмент с его смыслом.
Пояснение. μ задаёт центр колокола, σ — его ширину; внутри одной сигмы около 68 процентов данных, внутри трёх — около 99,7 процента.
Вопрос 7. Разложи величины по корзинам: где колокол правдоподобен, а где перекос.
Пояснение. Рост, ошибки измерений и размеры деталей симметричны вокруг центра: много мелких независимых причин складываются в колокол. Доходы, ожидание транспорта и длительность теста перекошены — коротких значений много, длинный хвост уходит вправо.