Геометрическое распределение: сколько ждать первого успеха — тренажёр

Пример 1. Вероятность дозвониться с каждого звонка равна 1/6. Звонки повторяют до первого дозвона. Каков средний номер звонка, на котором случится первый успех?

Подсказка. Раздели единицу на вероятность успеха 1/6.

Как решать. Номер первого успеха — геометрическая величина: E(X) = 1/p = 1/(1/6) = 6.

Ответ: 6

Пример 2. На контроле детали проверяют по одной, и каждая деталь независимо от других бракована с вероятностью 1/2. Сколько годных деталей в среднем пройдёт контроль до первой бракованной?

Подсказка. Сначала найди средний номер первой бракованной, затем вычти единицу.

Как решать. Средний номер первой бракованной детали равен 1/p = 2, поэтому перед ней в среднем на единицу меньше годных: среднее число неудач (1 − p)/p = 2 − 1.

Ответ: 1

Пример 3. Опыт повторяют до первого успеха, вероятность успеха в каждой попытке равна 1/6. Найди дисперсию номера первой удачной попытки.

Подсказка. Подставь p = 1/6 в формулу D(X) = (1 − p)/p² и упрости.

Как решать. D(X) = (1 − p)/p². При p = 1/6: (6 − 1)/6 · 6² = 6·(6 − 1).

Ответ: 30

Пример 4. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/(2·7). Каков средний номер выстрела, в котором случится первое попадание?

Подсказка. Единица, делённая на вероятность 1/(2·7).

Как решать. E(X) = 1/p = 1/(1/(2·7)) = 2·7: средний номер первого попадания равен 2·7.

Ответ: 14

Пример 5. Вероятность дозвониться с каждого звонка равна 1/2. Звонки повторяют до первого дозвона. Каков средний номер звонка, на котором случится первый успех?

Подсказка. Раздели единицу на вероятность успеха 1/2.

Как решать. Номер первого успеха — геометрическая величина: E(X) = 1/p = 1/(1/2) = 2.

Ответ: 2

Пример 6. На контроле детали проверяют по одной, и каждая деталь независимо от других бракована с вероятностью 1/8. Сколько годных деталей в среднем пройдёт контроль до первой бракованной?

Подсказка. Сначала найди средний номер первой бракованной, затем вычти единицу.

Как решать. Средний номер первой бракованной детали равен 1/p = 8, поэтому перед ней в среднем на единицу меньше годных: среднее число неудач (1 − p)/p = 8 − 1.

Ответ: 7

Пример 7. Опыт повторяют до первого успеха, вероятность успеха в каждой попытке равна 1/3. Найди дисперсию номера первой удачной попытки.

Подсказка. Подставь p = 1/3 в формулу D(X) = (1 − p)/p² и упрости.

Как решать. D(X) = (1 − p)/p². При p = 1/3: (3 − 1)/3 · 3² = 3·(3 − 1).

Ответ: 6

Пример 8. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/(2·5). Каков средний номер выстрела, в котором случится первое попадание?

Подсказка. Единица, делённая на вероятность 1/(2·5).

Как решать. E(X) = 1/p = 1/(1/(2·5)) = 2·5: средний номер первого попадания равен 2·5.

Ответ: 10

Пример 9. Вероятность дозвониться с каждого звонка равна 1/5. Звонки повторяют до первого дозвона. Каков средний номер звонка, на котором случится первый успех?

Подсказка. Раздели единицу на вероятность успеха 1/5.

Как решать. Номер первого успеха — геометрическая величина: E(X) = 1/p = 1/(1/5) = 5.

Ответ: 5

Пример 10. На контроле детали проверяют по одной, и каждая деталь независимо от других бракована с вероятностью 1/6. Сколько годных деталей в среднем пройдёт контроль до первой бракованной?

Подсказка. Сначала найди средний номер первой бракованной, затем вычти единицу.

Как решать. Средний номер первой бракованной детали равен 1/p = 6, поэтому перед ней в среднем на единицу меньше годных: среднее число неудач (1 − p)/p = 6 − 1.

Ответ: 5

Пример 11. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/(2·4). Каков средний номер выстрела, в котором случится первое попадание?

Подсказка. Единица, делённая на вероятность 1/(2·4).

Как решать. E(X) = 1/p = 1/(1/(2·4)) = 2·4: средний номер первого попадания равен 2·4.

Ответ: 8

Пример 12. Вероятность дозвониться с каждого звонка равна 1/7. Звонки повторяют до первого дозвона. Каков средний номер звонка, на котором случится первый успех?

Подсказка. Раздели единицу на вероятность успеха 1/7.

Как решать. Номер первого успеха — геометрическая величина: E(X) = 1/p = 1/(1/7) = 7.

Ответ: 7

Пример 13. На контроле детали проверяют по одной, и каждая деталь независимо от других бракована с вероятностью 1/9. Сколько годных деталей в среднем пройдёт контроль до первой бракованной?

Подсказка. Сначала найди средний номер первой бракованной, затем вычти единицу.

Как решать. Средний номер первой бракованной детали равен 1/p = 9, поэтому перед ней в среднем на единицу меньше годных: среднее число неудач (1 − p)/p = 9 − 1.

Ответ: 8

Пример 14. Опыт повторяют до первого успеха, вероятность успеха в каждой попытке равна 1/8. Найди дисперсию номера первой удачной попытки.

Подсказка. Подставь p = 1/8 в формулу D(X) = (1 − p)/p² и упрости.

Как решать. D(X) = (1 − p)/p². При p = 1/8: (8 − 1)/8 · 8² = 8·(8 − 1).

Ответ: 56

Пример 15. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/(2·1). Каков средний номер выстрела, в котором случится первое попадание?

Подсказка. Единица, делённая на вероятность 1/(2·1).

Как решать. E(X) = 1/p = 1/(1/(2·1)) = 2·1: средний номер первого попадания равен 2·1.

Ответ: 2

Пример 16. На контроле детали проверяют по одной, и каждая деталь независимо от других бракована с вероятностью 1/10. Сколько годных деталей в среднем пройдёт контроль до первой бракованной?

Подсказка. Сначала найди средний номер первой бракованной, затем вычти единицу.

Как решать. Средний номер первой бракованной детали равен 1/p = 10, поэтому перед ней в среднем на единицу меньше годных: среднее число неудач (1 − p)/p = 10 − 1.

Ответ: 9

Пример 17. Опыт повторяют до первого успеха, вероятность успеха в каждой попытке равна 1/2. Найди дисперсию номера первой удачной попытки.

Подсказка. Подставь p = 1/2 в формулу D(X) = (1 − p)/p² и упрости.

Как решать. D(X) = (1 − p)/p². При p = 1/2: (2 − 1)/2 · 2² = 2·(2 − 1).

Ответ: 2

Вопрос 1. Кубик бросают до первой шестёрки. Чему равна вероятность того, что первая шестёрка выпадет именно со второго броска?

Ответ: 5/36

Пояснение. Со второй попытки — одна неудача и затем успех: q·p = 5/6 · 1/6 = 5/36 ≈ 0,139. Вариант 25/216 отвечает за третью попытку, где две неудачи.

Вопрос 2. Какие утверждения о геометрическом распределении верны?

Ответ: сумма вероятностей P(X = k) по всем k равна 1; самое вероятное значение — первая попытка; E(X) = 1/p

Пояснение. Сумма геометрической прогрессии равна p/(1 − q) = 1; вероятности убывают, потому что умножаются на q, поэтому максимум у k = 1; ожидание номера первого успеха равно 1/p. Утверждение про рост противоречит знаменателю q, который меньше единицы.

Вопрос 3. Вероятность дозвониться с каждого звонка равна 0,25. Каков средний номер звонка, на котором произойдёт первый дозвон?

Ответ: 4

Пояснение. Номер первого дозвона — геометрическая величина: E(X) = 1/p = 1/0,25 = 4. В среднем первый дозвон случается на четвёртом звонке.

Вопрос 4. Стрелок промахнулся пять раз подряд, поэтому вероятность попадания в шестом выстреле выше, чем была в первом.

Ответ: Неверно

Пояснение. У попыток нет памяти: выстрелы независимы, вероятность попадания остаётся прежней. Серия неудач не повышает шанс следующей попытки — это заблуждение называют парадоксом забывчивости.

Вопрос 5. Кубик бросают до первой шестёрки. Расставь значения X по возрастанию их вероятности.

Ответ: X = 5 → X = 4 → X = 2 → X = 1

Пояснение. Вероятности убывают с ростом k: P(1) = 1/6 ≈ 0,167, P(2) = 5/36 ≈ 0,139, P(4) = 125/1296 ≈ 0,096, P(5) = 625/7776 ≈ 0,080. По возрастанию: пятая, четвёртая, вторая, первая попытка.

Вопрос 6. Соедини величину с её формулой.

Пояснение. Вероятность k-й попытки — произведение q в степени k − 1 и p; ожидание — обратная вероятность успеха; дисперсия делит q на p в квадрате; неудач в среднем на единицу меньше, чем номер успеха.

Вопрос 7. Разложи величины по распределениям.

Пояснение. Где фиксировано число попыток и считаются успехи — биномиальное распределение; где фиксирована цель «первый успех» и считается номер попытки — геометрическое.