Частота и вероятность: устойчивость частоты

Бабушка купила пакетик семян тыквы: внутри восемь штук и обещание «всхожесть 90%». Ты посадил все восемь, и взошли пять. Обманули? Не спеши: девяносто процентов — это девять растений из десяти в среднем, а не гарантия для каждого пакетика. Производитель не гадал именно про твои восемь семян: лаборатория посеяла сотни семян и посчитала долю взошедших. Эта доля — частота — и есть практический путь к вероятности. Вероятность нельзя увидеть глазами, зато частоту можно посчитать руками. В этом уроке разберёмся, как измеряют частоту, почему она прыгает в коротких сериях и прижимается к одному числу в длинных.

У частоты простое происхождение: провели серию одинаковых случайных опытов, и в каждом событие либо случилось, либо нет. Поделили число появлений на длину серии — получили частоту. Посеяли 200 семян и дождались 162 ростка — частота всхожести $162:200=0,81$, то есть 81%. Проверили 500 скрепок и нашли 11 кривых — частота брака 0,022, чуть больше двух процентов. Открыли 50 лотерейных билетов, три из них с выигрышем — частота 0,06. Все три числа добыты одним способом, поэтому с ними можно работать одинаково: сравнивать, умножать, делать прогнозы.

Проценты, доли и честное сравнение

Частоту удобно выражать и дробью, и процентами: 0,81 и 81% — одно и то же число в двух одеждах. Проценты выигрывают, когда сравниваешь серии разной длины. Тыква из магазина: из восьми семян взошло шесть, частота 0,75. Лабораторная партия: из 200 семян взошло 162, частота 0,81. Но восемь семян — короткая серия: одно кривое семечко сдвинуло бы её частоту сразу на 0,125, то есть на 12,5 процента. В длинной партии каждое семечко весит лишь полпроцента. Поэтому выводы по коротким сериям шаткие, а по длинным — крепкие: длина серии и есть мера доверия к частоте.

Колебания и стабилизация

Брось монету десять раз: вовсе не обязательно выпадет пять орлов. В одной такой серии выпало семь — частота 0,7. Повтори: четыре орла, частота 0,4. Обе цифры честные, и обе далеки от половины. Частота в короткой серии капризна: она может лечь почти куда угодно между нулём и единицей. Но продолжай бросать и веди счёт: после 50 бросков стало 0,56, после 100 — 0,53, после 500 — 0,512, после тысячи — 0,506.

Посмотри, как затухают качели: скачок 0,7 в начале, а к тысяче бросков частота жмётся к 0,5 в третьем знаке. Это стабилизация частоты — главный экспериментальный факт всей теории вероятностей. Отдельный бросок непредсказуем, зато длинная серия рисует устойчивую картину. Число, к которому прижимается частота, называют вероятностью события: у честной монеты вероятность орла равна 0,5. Границы, в которых гуляет частота, сужаются с ростом серии примерно как один к корню из её длины: серия вчетверо длиннее колеблется примерно вдвое слабее. Потому длинные серии и ценят.

Заводить длинные серии ради науки люди любили всегда. В XVIII веке Жорж Бюффон подбросил монету 4040 раз и насчитал 2048 орлов — частота 0,507, до вероятности 0,5 рукой подать. Столь же упрямо частота приходит к своему числу у других людей, на других монетах и в другие десятилетия. Вероятность — не выдумка математиков, а свойство самого опыта, которое эксперимент проявляет снова и снова. Именно поэтому жеребьёвка монеткой честна: обе стороны заблаговременно знают шансы.

Так работают все практические оценки: страховая компания знает частоту аварий по миллионам договоров и закладывает её в тариф, магазин судит о браке по контрольным партиям, транспортники — об отменах рейсов по многолетним таблицам. Везде одна схема: длинная история опытов, частота, прогноз на новую серию. И везде прогноз называют словом «ожидается», а не «гарантируется»: случайность сохраняет право на колебание, просто в длинной серии эти колебания уже не так заметны.

Редкие события: что делать с лотереей

У частоты есть граница применимости: событие должно случаться в серии достаточно часто. Если частота равна одной миллионной, чтобы увидеть её хотя бы приблизительно, нужны миллионы попыток. Главный выигрыш крупной лотереи выпадает реже, чем один на восемь миллионов комбинаций, — насыпать мешок билетов и посчитать такую частоту в домашней тетради не получится. Зато у лотерейного оператора данных навалом: он точно знает, сколько билетов продано и сколько из них выиграло, и его отчёты дают честную частоту выигрыша.

Редкие события окружают нас и без лотерей: поломка прибора, задержка рейса, ошибка в платеже. Их частоты меряют не домашними сериями, а сводками за долгие месяцы: сколько скрепок выпустил цех за смену и сколько ушло в брак, сколько рейсов вылетело и сколько опоздало. Чем реже событие, тем длиннее нужна история — вот и всё правило. А событие, которое случается чаще, чем раз на сотню опытов, ты вполне способен измерить сам за один вечер.

Частота#

доля опытов серии, в которых событие произошло; число появлений, делённое на длину серии

Серия опытов#

повторения одного и того же случайного опыта в одинаковых условиях

Стабилизация частоты#

прижимание частоты к одному числу по мере роста длины серии

Всхожесть#

частота прорастания семян; лаборатории проверяют её на партиях в сотни семян

Брак#

доля дефектных изделий в партии; меряется контрольной проверкой

Ожидаемое число#

частота, умноженная на длину новой серии; центр прогноза

Частота — мостик от наблюдений к вероятности, и по нему ходит вся прикладная наука: от агрономов до страховщиков. Проведи свою серию бросков, добейся затухания колебаний и сравни итог с соседским. А в следующем уроке возьмём задачи, где варианты нужно честно перебирать: научимся рисовать графы и деревья вариантов, чтобы ни один маршрут, рукопожатие или расписание не потерялись в переборе.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема