Случайные опыты и события: от монетки к вероятности
Почему подбрасывание монеты — честный способ разыграть первый удар, что такое элементарные события и как по серии бросков посчитать частоту и подойти к вероятности.
Перед футбольным матчем судья подбрасывает монетку, и капитаны угадывают, какой стороной она упадёт: победитель выбирает ворота или первый удар. Никто не возмущается жульничеством — и это не традиция ради традиции. Монета падает орлом или решкой непредсказуемо, и обе стороны имеют равные шансы: у монеты нет ни памяти, ни симпатий. Тем же способом разыгрывают право первого хода в шахматах и стартовую позицию в настолках. Случайность — не хаос, а самый честный арбитр из доступных, и у неё есть свои законы. В этом уроке разберём, как устроен случайный опыт, из чего складываются события и как серия бросков подводит нас к самому важному числу — вероятности.
Случайный опыт — это действие, результат которого нельзя предсказать заранее, даже если повторить его в тех же условиях: бросок монеты, кубика, вращение волчка, вытянутая из шкатулки карточка. У любого опыта есть набор возможных исходов, и каждый отдельный исход называют элементарным событием. У монеты их два: орёл и решка. У игрального кубика — шесть: числа от 1 до 6. У монеты и кубика, брошенных одновременно, — двенадцать: каждый из двух исходов монеты сочетается с каждым из шести исходов кубика, и . Выписать все элементарные события опыта — первый шаг любого рассуждения о случайности.
События: случайные, достоверные, невозможные
Событие — это то, о чём мы спрашиваем опыт: оно состоит из элементарных событий, при которых наш вопрос получает ответ «да». Бросаем кубик и спрашиваем «выпадет пятёрка?» — этому событию благоприятствует одно элементарное событие из шести. Спрашиваем «выпадет чётное число?» — благоприятствуют три: 2, 4 и 6. Спрашиваем «выпадет число больше четырёх?» — два: 5 и 6. Одни и те же шесть элементарных событий собираются в разные события, как одни и те же кубики конструктора собираются в разные постройки.
Среди событий есть три особых сорта. Достоверное событие происходит при любом опыте: брошенный кубик покажет число от 1 до 6 — всегда, без исключений. Невозможное не происходит никогда: кубик не покажет ни 0, ни 9 — этих чисел на гранях нет. Между ними живёт случайное событие: оно может произойти, а может и не произойти — «выпадет шестёрка», «выпадет чётное число». С сортами стоит потренировать глаз, потому что в задачах их прячут за формулировками: «кубик покажет число меньше семи» звучит как случайное, а на самом деле достоверное — все грани от 1 до 6 меньше семи.
Частота: что говорит опыт
Предсказать отдельный бросок нельзя, а вот про серию опытов можно сказать много. Бросим кубик 60 раз и запишем, сколько раз выпала каждая грань — получится таблица частот. Частота события — это доля опытов, в которых оно произошло: число появлений, делённое на число всех опытов серии.
| Очки | Сколько раз выпало | Частота |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 0,15 |
| 2 | 11 | 0,18 |
| 3 | 10 | 0,17 |
| 4 | 12 | 0,20 |
| 5 | 8 | 0,13 |
| 6 | 10 | 0,17 |
| Итого | 60 | 1,00 |
Частоты в таблице неровные: четвёрка выпала 12 раз (частота 0,20), а пятёрка только 8 (0,13). Так и должно быть: в короткой серии случайность гуляет. Заметь проверку внизу — сумма частот всех граней равна единице, ведь каждая серия целиком состоит из каких-то исходов, а часть не бывает больше целого. Чем длиннее серия, тем меньше частоты прыгают. История знает рекордные серии: Карл Пирсон подбросил монету 24 000 раз и получил 12 012 орлов — частота 0,5005. Джон Керрич во время Второй мировой бросал монету 10 000 раз — 5 067 орлов, частота 0,5067. Обе серии легли рядом с половиной: у честной монеты частота орла стабилизируется около 0,5.
Устойчивость частоты — главный экспериментальный факт всей теории вероятностей. Отдельный бросок непредсказуем, но частота в длинной серии прижимается к одному и тому же числу, и у этого числа есть имя — вероятность события. Вероятность орла у честной монеты равна 0,5, вероятность шестёрки у кубика — одна шестая: мы говорим о них как о заданных свойствами самого опыта, а частоты лишь приближаются к ним по мере роста серии. Точную формулу для вычисления вероятности вы отработаете в старших классах через подсчёт исходов, а пока связь такая: вероятность — модель, частота — эксперимент, и эксперимент подтверждает модель.
Равновозможные события: монета и кубик
Особое место занимают опыты, у которых все элементарные события равноправны: у монеты нет причин падать орлом чаще, у кубика — показывать тройку чаще других граней. Такие элементарные события называют равновозможными, и в этих опытах вероятность события читается прямо из подсчёта: она равна доле благоприятных элементарных событий среди всех.
- Считаем элементарные события составного опыта: 2 исхода монеты на каждые 6 исходов кубика.
- Берём событие «орёл и чётное число очков»: орёл один, чётных граней три — 2, 4 и 6.
- Считаем долю благоприятных событий среди всех.
- Переводим в ожидание серии: при 120 бросках такого события стоит ждать около
Число 0,25 — не обещание, что в каждой четвёрке бросков ровно один будет «орлом и чётным». Это долгосрочная доля: в сотне разных серий по 120 бросков среднее число таких событий соберётся около тридцати, хотя отдельные серии дадут и 25, и 34. Точно так же вероятность 0,5 у орла не означает чередования: серии из пяти орлов подряд случаются, и случаются не так уж редко.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
В таблице частот из урока шестёрка выпала 10 раз из 60 бросков. Прикинь частоту шестёрки — долю среди всех бросков.
Опыт с монетой имеет элементарных события, а опыт с кубиком — . Частота события — это появлений события, делённое на число всех серии. Частота достоверного события равна .
Банк слов
- Случайный опыт#
- действие с непредсказуемым заранее результатом
- Элементарное событие#
- один отдельный исход опыта
- Событие#
- вопрос к опыту: набор элементарных событий, при которых он получает ответ «да»
- Частота#
- доля опытов серии, в которых событие произошло
- Вероятность#
- число, к которому прижимается частота в длинных сериях
- Равновозможные события#
- элементарные события с равными правами на исход
Случайность проверяется руками, а не только словами: подбрось монету сто раз, сведи броски в таблицу частот и сравни свой результат с серией Пирсона. Потом разбери опыт с двумя кубиками — сколько у него элементарных событий и какие из них благоприятствуют сумме семь. На следующем уроке мы продолжим считать события у составных опытов и увидим, как из подсчёта исходов вырастает настоящая формула вероятности.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Сколько элементарных событий у опыта с бросанием игрального кубика?
2 Монету бросили 50 раз, и орёл выпал 23 раза. Какова частота орла в этой серии? Запиши десятичной дробью.
3 Событие «брошенный кубик покажет число меньше семи» — достоверное.
4 Выбери все случайные события.
5 Расставь события по возрастанию частоты в опыте с одним кубиком.
6 Соедини термин и его смысл.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи события по сортам.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Почему монету называют честной?
У неё два равновозможных элементарных события, и длинные серии это подтверждают: у Пирсона за 24 000 бросков частота орла составила 0,5005, почти ровно половина.
Чем частота отличается от вероятности?
Частота — результат конкретной серии опытов, она прыгает от серии к серии. Вероятность — число, к которому частота прижимается в длинных сериях; это свойство самого опыта, а не серии.
Сколько элементарных событий у опыта с монетой и кубиком вместе?
Двенадцать: два исхода монеты умножаются на шесть исходов кубика. Событие «орёл и пятёрка» — одно из этих двенадцати.
Может ли частота быть больше единицы?
Нет: частота — это доля появлений от числа всех опытов, а часть не бывает больше целого. Если вышло больше единицы, где-то ошибка в подсчёте.