Описательные статистики: среднее, медиана, размах

Ты ведёшь канал и за месяц выложил десять роликов. Девять собрали привычные просмотры: 118, 120, 125, 126, 128, 130, 132, 134 и 140. Десятому повезло — его подхватила рекомендательная лента, и он улетел на 2400. Складываем всё: девять роликов дали вместе 1153 просмотра, плюс 2400 — итого 3553. Делим на десять: средний ролик собирает 355,3 просмотра. Но открой глаза на собственный список: девять роликов из десяти живут в диапазоне от 118 до 140, и «средний» ролик в 355 просмотров просто не существует. Одно вирусное видео утянуло среднее далеко от типичной картины. Статистика на этот случай держит не одно число, а три: среднее, медиану и размах — и учит выбирать, какое из них честнее отвечает на твой вопрос.

К любому набору данных стоят три вопроса. Первый: «сколько выходит в среднем?» — про баланс, когда все значения делят общую сумму поровну. Второй: «что находится ровно посередине?» — про середину упорядоченного набора. Третий: «насколько сильно данные разбросаны?» — про расстояние между краями. Ответы называются описательными статистиками: каждая сжимает сотни чисел в одно, и каждая говорит только свою часть правды. Считаются они за минуту, а вот выбирать между ними — уже навык, и на нём мы здесь и сосредоточимся.

Среднее арифметическое: баланс данных

Среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество. Представь, что каждое число набора — это монетка в общий котёл: среднее показывает, сколько достанется каждому, если котёл разделить поровну. Возьмём сводку контрольной по статистике у 25 учеников: двойки получили 3 человека, тройки — 2, четвёрки — 11, пятёрки — 9. Сумма баллов равна $2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 11+5\cdot 9=6+6+44+45=101$, а средний балл класса — $101:25=4,04$. Столбец частот позволил обойтись без двадцати пяти сложений: умножил балл на число получивших и сложил.

У среднего есть два свойства, которые стоит держать в голове. Оно учитывает каждое значение: любое число набора, даже появившееся один раз, толкает сумму и сдвигает результат. И оно всегда живёт внутри набора: среднее не бывает больше наибольшего и меньше наименьшего значения — если вышло иначе, где-то ошибка в счёте. Проверка на быструю руку: умножь среднее на количество — должна вернуться исходная сумма, здесь $4,04\cdot 25=101$. Сошлось — значит, деление не съело ничего лишнего.

Медиана: середина упорядоченного набора

Медиана — число ровно посередине упорядоченного набора: слева от него столько же значений, сколько справа. Секрет в двух словах: сначала упорядочить, потом искать середину. Разберём нечётный набор — пять результатов утренней пробежки в минутах: 12, 15, 11, 14, 9.

Чётный набор устроен иначе: середина попадает на стык двух чисел, и медианой считают их полусумму — среднее арифметическое двух соседей. Пусть билеты на фильм стоили 250, 400, 300 и 320 рублей. Упорядочиваем: 250, 300, 320, 400. Два средних — 300 и 320, и медиана равна $(300+320):2=310$. Обрати внимание: 310 в наборе не встречается, и это не ошибка. Медиана обязана делить данные пополам, а не совпадать с одним из значений.

Медиана набора 2, 6, 8, 10 и 19 стоит на отметке 8: пять чисел, середина — третье. Почему именно 8? Потому что слева от неё лежат 2 и 6, справа — 10 и 19, и никакое другое место не делит набор пополам. Прямая выше — тренировка глазомера: медиана не обязана сидеть в геометрическом центре отрезка от наименьшего до наибольшего, она зависит от того, как числа легли по возрастанию.

Размах: насколько разбросаны данные

Среднее и медиана отвечают «где центр», но ничего не говорят о разбросе. Два набора — 20, 21, 22 и 0, 21, 42 — имеют одинаковые среднее и медиану, а живут по-разному. Размах — расстояние между краями: из наибольшего значения вычитается наименьшее. Шагомер за неделю показал максимум 12 300 шагов и минимум 6 100 — размах равен 6200 шагов. У экранного времени из первого урока размах 240 минус 95 — 145 минут. Размах считается за пять секунд и первым делом бросается в глаза при чтении любой таблицы: насколько широкая вилка между лучшим и худшим. Слабое место у него то же: он смотрит только на два крайних значения и не замечает, что происходит между ними. Один случайно заскочивший рекорд растягивает размах в несколько раз, хотя весь остальной набор не сдвинулся ни на шаг — поэтому размах хорош как первая прикидка и как ответ на вопрос «каковы границы», но не претендует на описание всего набора целиком.

Выбросы: когда среднее врёт

Вернёмся к каналу из начала урока. Среднее — 355,3 просмотра, а медиана набора 118, 120, 125, 126, 128, 130, 132, 134, 140, 2400 равна $(128+130):2=129$. Разница — почти в три раза — и причина одна: вирусный ролик-выброс. Выброс — значение, резко оторвавшееся от остальных данных. Среднее послушно посчитало его в общий котёл и улетело вместе с ним, медиана осталась стоять среди типичных роликов, как ни в чём не бывало. Это свойство называют устойчивостью: медиана почти не чувствительна к выбросам, среднее — чувствительно всегда. Тот же сюжет — с зарплатами. В бригаде из пяти человек оклады 40, 42, 44, 46 и 180 тысяч рублей (последний — бригадир-совладелец). Сумма 352 тысячи, среднее — 70,4 тысячи, и это число не описывает никого: у четверых зарплаты около 40, у одного 180. Медиана — 44 тысячи: человек посередине списка получает ровно столько. Именно поэтому Росстат публикует медианную зарплату рядом со средней, и медианная примерно на треть ниже: в данных о доходах длинный хвост больших значений тянет среднее вверх. Услышав «средняя зарплата», спрашивай себя: среднее это или медиана, и есть ли в наборе выбросы.

Описательная статистика#

одно число, сжимающее целый набор данных: среднее, медиана или размах

Среднее арифметическое#

сумма всех значений, делённая на их количество

Медиана#

середина упорядоченного набора; при чётном количестве — полусумма двух средних

Размах#

разность наибольшего и наименьшего значений

Выброс#

значение, резко оторвавшееся от остальных данных

Открой свою собственную статистику: оценки за четверть, шаги за неделю, чеки из магазина. Посчитай среднее, найди медиану после сортировки и размах между краями. Если среднее и медиана разъехались — ищи выброс и решай, какая характеристика отвечает на твой вопрос. Дальше по курсу эти же наборы мы нарисуем на диаграммах, а потом посмотрим, как ведут себя случайные опыты — там средние и частоты встретятся снова.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема