Метод интервалов 11 класс: дробно-рациональные неравенства — тренажёр

Пример 1. Сколько целых решений имеет неравенство (x − 3)(x − 7) ≥ 0 на отрезке от −10 до 10?

Подсказка. Считай два луча по отдельности.

Как решать. Подходят целые от −10 до 3 включительно (3 + 11 штук) и от 7 до 10 включительно (11 − 7 штук); всего 3 + 22 − 7.

Ответ: 18

Пример 2. Для многочлена (x − 2)(x − 8) вычисли значение при x = 0 — это пробная точка для интервала между корнями.

Подсказка. Подставь ноль в обе скобки.

Как решать. (0 − 2)(0 − 8) = 2·8 — произведение двух отрицательных скобок даёт плюс.

Ответ: 16

Пример 3. На прямой отметили нули дроби (x − 1)(x + 2)/(x − 3) при решении неравенства со знаком «не меньше». Как расставлены точки?

Как решать. Знак нестрогий, поэтому нули числителя — точки 1 и −2 — закрашены; нуль знаменателя 3 выколот всегда.

Ответ: нулевые закрашены, x = 3 выколота

Пример 4. Сколько целых решений имеет неравенство (x − 1)(x − 9) ≥ 0 на отрезке от −10 до 10?

Подсказка. Считай два луча по отдельности.

Как решать. Подходят целые от −10 до 1 включительно (1 + 11 штук) и от 9 до 10 включительно (11 − 9 штук); всего 1 + 22 − 9.

Ответ: 14

Пример 5. Для многочлена (x − 7)(x − 9) вычисли значение при x = 0 — это пробная точка для интервала между корнями.

Подсказка. Подставь ноль в обе скобки.

Как решать. (0 − 7)(0 − 9) = 7·9 — произведение двух отрицательных скобок даёт плюс.

Ответ: 63

Пример 6. На прямой отметили нули дроби (x − 1)(x + 2)/(x − 3) при решении неравенства со знаком «не меньше». Как расставлены точки?

Как решать. Знак нестрогий, поэтому нули числителя — точки 1 и −2 — закрашены; нуль знаменателя 3 выколот всегда.

Ответ: нулевые закрашены, x = 3 выколота

Пример 7. Сколько целых решений имеет неравенство (x − 2)(x − 9) ≥ 0 на отрезке от −10 до 10?

Подсказка. Считай два луча по отдельности.

Как решать. Подходят целые от −10 до 2 включительно (2 + 11 штук) и от 9 до 10 включительно (11 − 9 штук); всего 2 + 22 − 9.

Ответ: 15

Пример 8. Для многочлена (x − 5)(x − 5) вычисли значение при x = 0 — это пробная точка для интервала между корнями.

Подсказка. Подставь ноль в обе скобки.

Как решать. (0 − 5)(0 − 5) = 5·5 — произведение двух отрицательных скобок даёт плюс.

Ответ: 25

Пример 9. Сколько целых решений имеет неравенство (x − 3)(x − 6) ≥ 0 на отрезке от −10 до 10?

Подсказка. Считай два луча по отдельности.

Как решать. Подходят целые от −10 до 3 включительно (3 + 11 штук) и от 6 до 10 включительно (11 − 6 штук); всего 3 + 22 − 6.

Ответ: 19

Пример 10. Для многочлена (x − 8)(x − 8) вычисли значение при x = 0 — это пробная точка для интервала между корнями.

Подсказка. Подставь ноль в обе скобки.

Как решать. (0 − 8)(0 − 8) = 8·8 — произведение двух отрицательных скобок даёт плюс.

Ответ: 64

Вопрос 1. Сколько интервалов знакопостоянства образуют на прямой три различных корня многочлена?

Ответ: 4

Пояснение. Три корня делят прямую на четыре части: каждый новый корень добавляет по одному интервалу. Знак на каждом постоянен.

Вопрос 2. Какой знак у дроби (x − 1)(x + 2)/(x − 3) при x = 10?

Ответ: плюс

Пояснение. Числитель 9·12 = 108 положителен, знаменатель 7 положителен: дробь положительна. Крайний правый интервал — с плюсом.

Вопрос 3. Выбери верные утверждения про решение (x − 1)(x + 2)/(x − 3) ≥ 0.

Ответ: точки −2 и 1 входят в ответ; точка 3 выколота

Пояснение. Знак нестрогий — нули числителя закрашены и входят; нуль знаменателя выколот всегда. Интервалы с минусом не подходят по условию.

Вопрос 4. При переходе через корень чётной кратности знак многочлена не меняется.

Ответ: Верно

Пояснение. Да: скобка в чётной степени неотрицательна и не переворачивает знак — функция касается прямой и возвращается на прежнюю сторону.

Вопрос 5. Расставь шаги метода интервалов.

Ответ: разложить на множители и найти нули → отметить нули на прямой с учётом закрашенных и выколотых → определить знак на одном интервале пробной точкой → расставить знаки с учётом кратностей и записать ответ

Пояснение. Сначала разложение и нули, затем отметка на прямой, затем знак в одном интервале, затем расстановка с кратностями и запись ответа.

Вопрос 6. Сопоставь ситуацию и поведение знака.

Пояснение. Кратность управляет чередованием знака, а знаменатель и строгость знака управляют точками на прямой.

Вопрос 7. Дополни.

Ответ: закрашивают → выкалывают → сохраняет

Пояснение. Три правила метода: нули числителя при нестрогом знаке закрашены, нули знаменателя выколоты всегда, чётная кратность сохраняет знак.