Метод рационализации в неравенствах — тренажёр
Тренировка по теме «Метод рационализации в неравенствах»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Разность log_7(3x + 5) − log_7(2x − 1) рационализуется множителем (p − 1)·(...). Чему равно p − 1?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
17 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Разность log_6(3x + 5) − log_6(2x − 1) рационализуется множителем (p − 1)·(...). Чему равно p − 1?
Подсказка. Замена: (основание − 1) умножить на разность аргументов.
Как решать. Основание логарифма 6, поэтому множитель при разности аргументов равен 6 − 1.
Ответ: 5
Пример 2. Замени разность log₅(x + 1) − log₅ x множителем по таблице и вычисли его числовую часть: (5 − 1)·((x + 1) − x). Сколько получилось?
Подсказка. Иксы в разности аргументов сокращаются.
Как решать. (5 − 1)·((x + 1) − x) = 4·1. Основание 5 больше единицы, его множитель положителен и на знак не влияет.
Ответ: 4
Пример 3. Неравенство log₂(x − 6) ≥ 0 равносильно x − 6 ≥ 1. Найди наименьшее целое решение.
Подсказка. Сначала реши равенство, потом добавь границу.
Как решать. Ноль логарифма отвечает единице аргумента: x − 6 ≥ 1, значит x ≥ 6 + 1, и наименьшее целое решение равно 6 + 1.
Ответ: 7
Пример 4. Показательная разность 3^{x + 6} − 3^{x + 3} заменяется на (3 − 1)·((x + 6) − (x + 3)). Чему равна разность показателей в скобке?
Подсказка. Иксы в разности показателей сокращаются.
Как решать. (x + 6) − (x + 3) = 6 − 3. Множитель (3 − 1) = 2 положителен, знак произведения задаёт именно разность показателей.
Ответ: 3
Пример 5. Разность log_2(3x + 5) − log_2(2x − 1) рационализуется множителем (p − 1)·(...). Чему равно p − 1?
Подсказка. Замена: (основание − 1) умножить на разность аргументов.
Как решать. Основание логарифма 2, поэтому множитель при разности аргументов равен 2 − 1.
Ответ: 1
Пример 6. Замени разность log₅(x + 7) − log₅ x множителем по таблице и вычисли его числовую часть: (5 − 1)·((x + 7) − x). Сколько получилось?
Подсказка. Иксы в разности аргументов сокращаются.
Как решать. (5 − 1)·((x + 7) − x) = 4·7. Основание 5 больше единицы, его множитель положителен и на знак не влияет.
Ответ: 28
Пример 7. Неравенство log₂(x − 2) ≥ 0 равносильно x − 2 ≥ 1. Найди наименьшее целое решение.
Подсказка. Сначала реши равенство, потом добавь границу.
Как решать. Ноль логарифма отвечает единице аргумента: x − 2 ≥ 1, значит x ≥ 2 + 1, и наименьшее целое решение равно 2 + 1.
Ответ: 3
Пример 8. Показательная разность 3^{x + 5} − 3^{x + 2} заменяется на (3 − 1)·((x + 5) − (x + 2)). Чему равна разность показателей в скобке?
Подсказка. Иксы в разности показателей сокращаются.
Как решать. (x + 5) − (x + 2) = 5 − 2. Множитель (3 − 1) = 2 положителен, знак произведения задаёт именно разность показателей.
Ответ: 3
Пример 9. Разность log_5(3x + 5) − log_5(2x − 1) рационализуется множителем (p − 1)·(...). Чему равно p − 1?
Подсказка. Замена: (основание − 1) умножить на разность аргументов.
Как решать. Основание логарифма 5, поэтому множитель при разности аргументов равен 5 − 1.
Ответ: 4
Пример 10. Замени разность log₅(x + 5) − log₅ x множителем по таблице и вычисли его числовую часть: (5 − 1)·((x + 5) − x). Сколько получилось?
Подсказка. Иксы в разности аргументов сокращаются.
Как решать. (5 − 1)·((x + 5) − x) = 4·5. Основание 5 больше единицы, его множитель положителен и на знак не влияет.
Ответ: 20
Пример 11. Показательная разность 3^{x + 9} − 3^{x + 2} заменяется на (3 − 1)·((x + 9) − (x + 2)). Чему равна разность показателей в скобке?
Подсказка. Иксы в разности показателей сокращаются.
Как решать. (x + 9) − (x + 2) = 9 − 2. Множитель (3 − 1) = 2 положителен, знак произведения задаёт именно разность показателей.
Ответ: 7
Пример 12. Разность log_7(3x + 5) − log_7(2x − 1) рационализуется множителем (p − 1)·(...). Чему равно p − 1?
Подсказка. Замена: (основание − 1) умножить на разность аргументов.
Как решать. Основание логарифма 7, поэтому множитель при разности аргументов равен 7 − 1.
Ответ: 6
Пример 13. Замени разность log₅(x + 8) − log₅ x множителем по таблице и вычисли его числовую часть: (5 − 1)·((x + 8) − x). Сколько получилось?
Подсказка. Иксы в разности аргументов сокращаются.
Как решать. (5 − 1)·((x + 8) − x) = 4·8. Основание 5 больше единицы, его множитель положителен и на знак не влияет.
Ответ: 32
Пример 14. Неравенство log₂(x − 7) ≥ 0 равносильно x − 7 ≥ 1. Найди наименьшее целое решение.
Подсказка. Сначала реши равенство, потом добавь границу.
Как решать. Ноль логарифма отвечает единице аргумента: x − 7 ≥ 1, значит x ≥ 7 + 1, и наименьшее целое решение равно 7 + 1.
Ответ: 8
Пример 15. Показательная разность 3^{x + 9} − 3^{x + 1} заменяется на (3 − 1)·((x + 9) − (x + 1)). Чему равна разность показателей в скобке?
Подсказка. Иксы в разности показателей сокращаются.
Как решать. (x + 9) − (x + 1) = 9 − 1. Множитель (3 − 1) = 2 положителен, знак произведения задаёт именно разность показателей.
Ответ: 8
Пример 16. Замени разность log₅(x + 9) − log₅ x множителем по таблице и вычисли его числовую часть: (5 − 1)·((x + 9) − x). Сколько получилось?
Подсказка. Иксы в разности аргументов сокращаются.
Как решать. (5 − 1)·((x + 9) − x) = 4·9. Основание 5 больше единицы, его множитель положителен и на знак не влияет.
Ответ: 36
Пример 17. Показательная разность 3^{x + 8} − 3^{x + 2} заменяется на (3 − 1)·((x + 8) − (x + 2)). Чему равна разность показателей в скобке?
Подсказка. Иксы в разности показателей сокращаются.
Как решать. (x + 8) − (x + 2) = 8 − 2. Множитель (3 − 1) = 2 положителен, знак произведения задаёт именно разность показателей.
Ответ: 6
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Метод рационализации в неравенствах» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Сколько множителей даёт замена разности ?
Ответ: 2
Пояснение. Замена — произведение (a − 1)·(f − g): два множителя. Один отвечает за основание и монотонность, второй — за сравнение аргументов.
Вопрос 2. Что именно сохраняет замена множителя?
Ответ: знак множителя на ОДЗ
Пояснение. Замена устроена так, что в нулях совпадает с исходным множителем, а между нулями даёт тот же знак. Числовые значения при этом разные.
Вопрос 3. Что обязан контролировать решающий при рационализации?
Ответ: область допустимых значений исходного выражения; знак множителя (a − 1) перед его отбрасыванием; что замена применяется только к знаку
Пояснение. ОДЗ выписывается до замены и пересекается с ответом; знак (a − 1) проверяют перед упрощением; замена отвечает только за знак. Равенства значений нет — иначе метод работал бы и в уравнениях.
Вопрос 4. Метод рационализации применим внутри уравнений.
Ответ: Неверно
Пояснение. Нет: замена сохраняет лишь знак множителя, а уравнение требует точного значения левой части. Совпадение в нулях создаёт обманчивую иллюзию законности.
Вопрос 5. Расставь шаги решения логарифмического неравенства методом рационализации.
Ответ: выписать область допустимых значений → заменить множители по таблице → решить заменённое произведение методом интервалов → пересечь ответ с ОДЗ и записать результат
Пояснение. Порядок жёсткий: ОДЗ до замены, затем замена, затем интервалы, затем пересечение. Пропущенное пересечение — самая дорогая ошибка метода.
Вопрос 6. Сопоставь понятие и его роль в методе.
Пояснение. Четыре опоры метода: сама замена, её территория, её инструмент и точки совпадения с оригиналом.
Вопрос 7. Дополни.
Ответ: (a − 1) → (f − g) → знак
Пояснение. Три опоры: множитель с основанием, разность аргументов и знак. Значение замена не сохраняет — поэтому в уравнениях она запрещена.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по алгебре — новое каждый день.