Метод рационализации в неравенствах
Метод рационализации: замена разности логарифмов и степеней множителем с тем же знаком. Таблица замен, примеры с постоянным и переменным основанием, ловушки задания 15 профильного ЕГЭ.
На профиле задача 15 любит такой поворот: в неравенстве логарифм, под ним выражение, а основание — не двоечка, а конструкция вроде x + 1. Классическое решение через область допустимых значений и монотонность занимает полстраницы: выписать условия, разбить случаи по основанию, решить каждую систему, пересечь ответы. Метод рационализации сжимает эту работу до одной строки: разность монотонных функций заменяется множителем из их аргументов, и дальше включается обычный метод интервалов. Приём не добавляет новых объектов — он экономит самую дорогую вещь экзамена: время и внимание.
Фундамент простой: если функция f монотонно растёт, знак разности f(u) − f(v) совпадает со знаком разности u − v; если убывает — противоположен ему. Логарифм по основанию больше единицы растёт, по основанию от нуля до единицы убывает, показательная функция ведёт себя так же — и вся эта информация о монотонности упаковывается в один множитель (a − 1). Замена не равна исходному выражению числом: в нулях она совпадает с ним, между нулями даёт тот же знак, а внутри значения живут своей жизнью. Именно поэтому метод работает только в мире неравенств, где спрашивают про знак.
Стрелка в этой формуле означает не равенство, а совпадение знака на всей области допустимых значений. Читать её нужно так: где исходный множитель положителен — там и заменённый положителен, где ноль — там ноль, где минус — там минус. Замена легальна, только пока ты находишься внутри ОДЗ исходного выражения: за её границами логарифм не определён, и ни о каком знаке речи нет. Поэтому порядок всегда один: сначала ОДЗ на бумагу, потом замена, потом метод интервалов, потом пересечение ответа с той же ОДЗ.
Таблица замен: пять рабочих строк
| Исходный множитель | Замена | Почему работает |
|---|---|---|
| log_a f − log_a g | (a − 1)(f − g) | знак разности логарифмов повторяет знак разности аргументов с поправкой на основание |
| ln f − ln g | f − g | основание e больше единицы, множитель (e − 1) положителен и отбрасывается |
| a^f − a^g | (a − 1)(f − g) | показательная функция монотонна: всё решает разность показателей (f − g) |
| log_a f − 1 | (a − 1)(f − a) | единица — это log_a a: строка сводится к первой |
| a^f − 1 | (a − 1) · f | единица — это a в нулевой степени: разность показателей равна f |
Натуральная строка — частный случай первой: если основание равно e, множитель (e − 1) — положительная константа, и от неё остаётся только (f − g). То же верно для любого фиксированного основания больше единицы: у log₂ и log₃ множитель (a − 1) равен единице и двойке соответственно, и его можно спокойно убрать. Но привычка убирать множитель без взгляда на его знак опасна: при основании от нуля до единицы (a − 1) отрицателен и обязан развернуть знак, а при переменном основании его знак вообще зависит от x. Правило: сначала знак множителя, потом упрощения.
Разбор: логарифмы с постоянным основанием
- ОДЗ: оба аргумента строго положительны.
- Основание 2 больше единицы, замена: (2 − 1)·((x + 2) − (3 − x)) ≤ 0. Множитель (2 − 1) равен единице и исчезает — осталось сравнить аргументы.
- Приводим подобные и решаем методом интервалов — корень тут один.
- Пересекаем с ОДЗ и записываем ответ.
Контрольная проверка стоит тридцать секунд. Точка x = 0 из ответа: log₂ 2 = 1, а log₂ 3 больше единицы — неравенство выполнено. Точка x = 2 из отброшенного куска: log₂ 4 = 2, а log₂ 1 = 0 — два больше нуля, неверно, исключена справедливо. Две подстановки ловят почти любую описку в знаке или скобке и занимают меньше времени, чем перечитывание решения.
Переменное основание: две системы за одну строку
Переменное основание пугает сильнее всего, потому что классика требует развилки: при основании больше единицы знак сохраняется, при основании от нуля до единицы разворачивается — приходится решать две системы и склеивать ответы. Рационализация съедает развилку автоматически: множитель (a − 1) при переменном основании сам меняет знак ровно там, где логарифм меняет монотонность. Смотри, как это работает на неравенстве .
- ОДЗ: основание положительно и не равно единице, оба аргумента положительны.
- Замена по таблице: (основание − 1) умножить на разность аргументов.
- Сокращаем на −3 с разворотом знака: произведение обязано стать неотрицательным, откуда x ≤ −1 или x ≥ 0.
- Пересекаем с ОДЗ: луч x ≤ −1 отпадает целиком, точка x = 0 выколота. Ответ — открытый луч.
Обрати внимание, куда делся случай основания меньше единицы: при x из интервала (−1; 0) множитель x отрицателен, и он в одиночку развернул знак — ровно так повела бы себя убывающая функция. Классическое решение здесь выглядело бы как две системы с условиями x > 0 и −1 < x < 0, а рационализация уложилась в одну строку с параболой. Проверка на числах: x = 1 даёт log₂ 4 = 2 ≤ log₂ 10 — верно; в точке x = −0,5, лежащей в отброшенном куске, основание равно 0,5, и при убывающем логарифме меньшему аргументу достаётся большее значение — неравенство нарушается, точка исключена справедливо.
Протестируем строку a^f − 1 на показательной степени с основанием меньше единицы — именно здесь чаще всего теряют знак. Пусть требуется решить 0,5^(x² − 3x) ≥ 1. Единица справа — это 0,5⁰, так что слева стоит разность степеней с одним основанием: 0,5^(x²−3x) − 0,5⁰ ≥ 0. По таблице она заменяется множителем (0,5 − 1)·(x² − 3x), и вся соль задачи сидит в скобке (0,5 − 1): она отрицательна и обязана развернуть знак — точная аналогия с делением неравенства на отрицательное число.
- ОДЗ не нужно: показательная степень определена при любом x, ограничений у задачи нет.
- Замена a^f − a^g → (a − 1)(f − g): получаем (0,5 − 1)·(x² − 3x) ≥ 0.
- Множитель (0,5 − 1) = −0,5 отрицателен: делим на него и переворачиваем знак.
- Метод интервалов: x(x − 3) ≤ 0, парабола ветвями вверх, решение между корнями 0 и 3.
- Ответ: x ∈ [0; 3]. Проверка x = 1: 0,5⁻² = 4 ≥ 1 — верно; проверка x = 4: 0,5⁴ = 1/16 — неверно, точка исключена из ответа обоснованно.
Где метод ломается: четыре ловушки
- Замена отвечает только за знак: писать, что log₂(x + 2) равен x + 2 минус что-то, нельзя — значения не совпадают нигде, кроме нулей.
- В уравнениях и равенствах метод запрещён: там нужна точная величина левой части, а не её знак.
- ОДЗ не отменяется: замена легальна только внутри области определения исходного выражения, пересечение делается в конце.
- Сокращая множитель (a − 1), проверяй его знак: для оснований больше единицы и для ln он положителен, при переменном основании — зависит от x.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Разность log_a f − log_a g заменяется на произведение и разности аргументов. Для натуральных логарифмов остаётся только . Замена отвечает исключительно за выражения.
Банк слов
Что дальше: возьми из банка ФИПИ пару логарифмических или показательных неравенств задания 15 и реши каждую дважды — через ОДЗ с системами и через замену множителей. Разница во времени покажет, зачем метод нужен, а сверка ответов двух способов научит ловить потерянные условия. Вся техника после замены — это метод интервалов, так что следующий шаг тренировки очевиден: раскладывать произведение на корни и расставлять знаки без единой описки.
- Равносильный переход#
- замена, которая на всей области определения исходного выражения сохраняет знак множителя
- Монотонность#
- поведение функции: рост сохраняет знак разности аргументов, убывание — разворачивает его
- Интервал знакопостоянства#
- кусок числовой прямой, где заменённое произведение держит один знак; расставляется методом интервалов
Словарь метода
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Сколько множителей даёт замена разности ?
2 Что именно сохраняет замена множителя?
3 Что обязан контролировать решающий при рационализации?
4 Метод рационализации применим внутри уравнений.
5 Расставь шаги решения логарифмического неравенства методом рационализации.
6 Сопоставь понятие и его роль в методе.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Дополни.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Разность log_a f − log_a g заменяется на произведение и разности аргументов. Для натуральных логарифмов остаётся только . Замена отвечает исключительно за выражения.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Почему метод рационализации нельзя применять в уравнениях?
Замена сохраняет только знак множителя, а не его значение. В уравнении важна точная величина каждой части, поэтому между нулями замена даёт ложное равенство.
Как рационализовать логарифм с переменным основанием?
Так же, как с постоянным: разность логарифмов по основанию a заменяется на (a − 1)·(f − g), где a — выражение с переменной. Отдельная ветка для основания меньше единицы не нужна: её роль играет множитель (a − 1).
Чем рационализация лучше классического решения через ОДЗ?
Экономит строки: вместо нескольких систем с проверкой монотонности получается один множитель и метод интервалов. Но ОДЗ всё равно выписывается — замена её не отменяет, а только не требует развилки по основанию.
Что делать с нестрогим знаком при рационализации?
Работать как обычно: нули заменённого множителя закрашиваются, точки, запрещённые ОДЗ, выкалываются всегда. Границы, где исходное выражение не определено, в ответ не попадают ни при каком знаке.