Случайные величины и их характеристики — алгебра 11 класс

Лотерейный билет стоит 50 рублей. С шансом один к двадцати он приносит 500 рублей, в остальных случаях — ничего. Выгодно ли покупать десять таких билетов каждую неделю? Интуиция спорит, математика отвечает одним числом. Каждая игра со случаем — это случайная величина: число, которое получится в результате испытания, заранее неизвестно, зато известны его возможные значения и их вероятности. Для такой величины можно посчитать среднее значение — сколько ты выигрываешь в среднем за билет — и меру разброса — насколько результат может отличаться от среднего. Эти два числа, математическое ожидание и дисперсия, стоят за лотереями, страховкой, инвестициями и почти каждой задачей ЕГЭ про вероятность.

Дискретная случайная величина и закон распределения

Случайную величину называют дискретной, если её возможные значения можно перечислить по отдельности: число очков на кубике — от одного до шести, число орлов при трёх бросках монеты — от нуля до трёх, выигрыш билета — ноль или пятьсот. Расписать величину — значит составить её закон распределения: таблицу, где напротив каждого значения стоит его вероятность. Для честного кубика каждая грань получает одну шестую. Число орлов при трёх бросках распределено иначе: вероятности равны 1/8, 3/8, 3/8 и 1/8 для нуля, одного, двух и трёх орлов — они считаются по формуле Бернулли. Главное требование к закону распределения: сумма всех вероятностей равна единице — величина обязана принять хоть какое-то из значений, третьего не дано. Если сумма не сходится к единице, в таблице ошибка или не хватает строки.

Составим закон распределения для лотереи из начала урока. Выигрыш 500 рублей случается с вероятностью 0,05, небольшой утешительный выигрыш 50 рублей — с вероятностью 0,15, а в восьми случаях из десяти билет не приносит ничего. Три строки — и вся случайность игры уложена в таблицу, с которой можно работать как с обычными данными: складывать, умножать на вероятности, считать среднее.

Прежде чем строить таблицу, договоримся о словаре. Значение случайной величины — это конкретное число, которое она приняла после испытания: выпала тройка, пришёл ноль покупателей. Распределение — это полный список таких значений вместе с их вероятностями, и он обязан сходиться в единицу: одно из значений обязательно случится. Если в твоей таблице сумма вероятностей вышла 0,9 — где-то потерян исход, если 1,1 — где-то вероятность придумана или посчитана дважды. Эта проверка занимает десять секунд и спасает половину решений в контрольной.

Математическое ожидание: средний выигрыш

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины с учётом вероятностей: каждое значение умножается на свою вероятность, произведения складываются. Для лотереи из таблицы: ноль умножить на 0,8 плюс пятьдесят на 0,15 плюс пятьсот на 0,05 — выходит 32,5 рубля. Это и есть справедливая цена билета: плати 32,5 — и игра честная, а платишь 50 — в среднем теряешь 17,5 рубля с каждого билета, сколько бы ни тянуло выиграть. Заметь: ожидание может равняться числу, которое величина вообще не принимает. У кубика ожидание равно 3,5 — между третьей и четвёртой гранью; никакой бросок не даст 3,5, но среднее за сотню бросков прижмётся именно к этой отметке.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Ожидание отвечает за центр, но не за риск. Две лотереи могут обещать одинаковые 50 рублей в среднем — и при этом одна всегда платит ровно 50, а другая платит либо ноль, либо сто с равными шансами. Математическое ожидание у них одинаковое, а поведение разное: первая предсказуема, вторая — качели. Разброс измеряет дисперсия — средний квадрат отклонения значений от ожидания: каждое отклонение $(x-M)$ возводится в квадрат, умножается на вероятность, и всё складывается. Квадрат нужен, чтобы отклонения разных знаков не гасили друг друга. Корень из дисперсии — среднее квадратичное отклонение — возвращает разброс в исходные единицы: у второй лотереи он равен 50 рублям, и это честное «на сколько в среднем может уйти результат от центра».

Теперь сравнение двух распределений — настоящий инструмент. Одинаковое ожидание и разная дисперсия означают разный риск: чем больше сигма, тем шире вилка возможных результатов вокруг среднего. Пенсионному фонду подходит первый вариант — предсказуемая выплата; трейдеру, готовому к качелям, — второй. Большая дисперсия не плохая и не хорошая: она про волатильность, а выбор зависит от цели. Заметь и третий приём из таблицы: разброс уменьшили вдвое, придвинув крайние значения друг к другу и не тронув центр. Именно так работают портфельные инвестиции — смешивают активы, чтобы срезать разброс при сохранении среднего дохода.

Отдельное место занимает биномиальное распределение — число успехов в серии из n одинаковых испытаний с вероятностью успеха p в каждом: число орлов при трёх бросках монеты, число попаданий при десяти выстрелах, число бракованных деталей в партии. Его закон распределения строится по формуле Бернулли, а для характеристик есть готовые формулы: ожидание равно n умножить на p, дисперсия — n умножить на p и на разность единицы и p. Для трёх бросков честной монеты ожидание — полтора орла: снова среднее, которого не бывает в единичном испытании. Эти формулы на экзамене экономят целую таблицу вычислений.

Закон больших чисел: почему это работает

Почему ожидание называют средним на самом деле, объясняет закон больших чисел: при многократном повторении испытания среднее арифметическое результатов приближается к математическому ожиданию. Сто бросков кубика дадут среднее около 3,5 с небольшим разбросом, тысяча — ещё ближе. На этом законе стоит вся экономика случая: казино с положительным для себя ожиданием каждой ставки зарабатывает стабильно именно на массовости, страховая компания знает средний размер выплат по тысячам полисов, а не по одному. Одиночное испытание непредсказуемо, большая серия — почти управляема. Это самая практичная теорема школьной теории вероятностей.

1. Выпиши все значения случайной величины и их вероятности.
2. Проверь, что сумма вероятностей равна единице.
3. Умножь каждое значение на вероятность и сложи — это M(X).
4. Посчитай квадраты отклонений от M(X), умножь на вероятности и сложи — это D(X).
5. Извлеки корень из D(X), чтобы говорить о разбросе в исходных единицах.

Дискретная случайная величина#

величина, значения которой можно перечислить по отдельности

Закон распределения#

таблица значений и их вероятностей

Математическое ожидание#

среднее значение величины с учётом вероятностей

Дисперсия#

средний квадрат отклонения значений от ожидания

Среднее квадратичное отклонение#

корень из дисперсии, разброс в исходных единицах

Дальше — тест и тренажёр. Характеристики случайных величин приходят на экзаменах и в базовом, и в профильном уровне, а в жизни с их помощью выбирают тарифы, вклады и страховые программы. Потренируйся считать ожидание и дисперсию на маленьких таблицах из трёх-четырёх строк и обязательно проверяй сумму вероятностей в самом начале: это секунда работы, а спасает всё решение.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема