Случайные величины и их характеристики — алгебра 11 класс — тренажёр

Пример 1. Билет лотереи выигрывает 60 рублей с вероятностью 2/10, а в остальных случаях не выигрывает ничего. Найди математическое ожидание выигрыша (в рублях). Запиши только число.

Подсказка. Умножь выигрыш на вероятность и прибавь нулевой вклад.

Как решать. M(X) = 60 · 2/10 + 0 · (10 − 2)/10 = 6 · 2.

Ответ: 12

Пример 2. Закон распределения: значения 1, 2 и 3 с вероятностями 1/10, 4/10 и p3. Найди числитель вероятности p3, если её знаменатель равен 10. Запиши только число.

Подсказка. Сумма всех вероятностей — единица.

Как решать. Сумма вероятностей равна 10/10, значит p3 = (10 − 1 − 4)/10.

Ответ: 5

Пример 3. У первого автомата математическое ожидание выигрыша 50 р. и дисперсия 400, у второго — тоже 50 р., но дисперсия 100. Какой автомат выдаёт более предсказуемый выигрыш? Запиши одним словом: первый или второй.

Как решать. Ожидания равны, но дисперсия меньше у второго — разброс меньше, результат предсказуемее.

Ответ: второй

Пример 4. Билет лотереи выигрывает 20 рублей с вероятностью 4/10, а в остальных случаях не выигрывает ничего. Найди математическое ожидание выигрыша (в рублях). Запиши только число.

Подсказка. Умножь выигрыш на вероятность и прибавь нулевой вклад.

Как решать. M(X) = 20 · 4/10 + 0 · (10 − 4)/10 = 2 · 4.

Ответ: 8

Пример 5. Закон распределения: значения 1, 2 и 3 с вероятностями 4/10, 4/10 и p3. Найди числитель вероятности p3, если её знаменатель равен 10. Запиши только число.

Подсказка. Сумма всех вероятностей — единица.

Как решать. Сумма вероятностей равна 10/10, значит p3 = (10 − 4 − 4)/10.

Ответ: 2

Пример 6. Билет лотереи выигрывает 50 рублей с вероятностью 4/10, а в остальных случаях не выигрывает ничего. Найди математическое ожидание выигрыша (в рублях). Запиши только число.

Подсказка. Умножь выигрыш на вероятность и прибавь нулевой вклад.

Как решать. M(X) = 50 · 4/10 + 0 · (10 − 4)/10 = 5 · 4.

Ответ: 20

Пример 7. Закон распределения: значения 1, 2 и 3 с вероятностями 2/10, 2/10 и p3. Найди числитель вероятности p3, если её знаменатель равен 10. Запиши только число.

Подсказка. Сумма всех вероятностей — единица.

Как решать. Сумма вероятностей равна 10/10, значит p3 = (10 − 2 − 2)/10.

Ответ: 6

Пример 8. Билет лотереи выигрывает 70 рублей с вероятностью 1/10, а в остальных случаях не выигрывает ничего. Найди математическое ожидание выигрыша (в рублях). Запиши только число.

Подсказка. Умножь выигрыш на вероятность и прибавь нулевой вклад.

Как решать. M(X) = 70 · 1/10 + 0 · (10 − 1)/10 = 7 · 1.

Ответ: 7

Вопрос 1. Случайная величина принимает значение 4 с вероятностью 0,25 и значение 8 с вероятностью 0,75. Найди M(X). Запиши только число.

Ответ: 7

Пояснение. 4 · 0,25 + 8 · 0,75 = 1 + 6 = 7.

Вопрос 2. Какое свойство закона распределения обязательное?

Ответ: сумма вероятностей равна 1

Пояснение. Вероятности покрывают все исходы, поэтому их сумма равна единице; остальные условия не обязательны.

Вопрос 3. Математическое ожидание всегда совпадает с одним из возможных значений случайной величины.

Ответ: Неверно

Пояснение. У кубика ожидание 3,5 — ни одна грань такого значения не даёт. Ожидание — это среднее, а не значение.

Вопрос 4. Выбери верные утверждения про дисперсию.

Ответ: характеризует разброс значений; всегда неотрицательна; у более предсказуемой величины она меньше

Пояснение. Дисперсия — средний квадрат отклонения: она неотрицательна и растёт с разбросом; в исходных единицах измеряют её корень.

Вопрос 5. Расставь шаги вычисления дисперсии.

Ответ: найти математическое ожидание → вычислить квадраты отклонений от M(X) и умножить на вероятности → сложить полученные произведения

Пояснение. Сначала находят ожидание, затем квадраты отклонений с весами-вероятностями, затем всё складывают.

Вопрос 6. Сопоставь характеристику и её смысл.

Пояснение. Ожидание отвечает за центр, дисперсия и её корень — за разброс, а закон распределения описывает величину целиком.

Вопрос 7. Дополни предложение.

Ответ: единице → дисперсии

Пояснение. Вероятности покрывают все исходы, поэтому их сумма — единица; сигма — квадратный корень из дисперсии.