Неравенства с параметром — тренажёр
Тренировка по теме «Неравенства с параметром»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Трёхчлен x² − 8x + 3 входит в квадратное неравенство с ветвями вверх. Вычисли его дискриминант.
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
17 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Трёхчлен x² − 6x + 4 входит в квадратное неравенство с ветвями вверх. Вычисли его дискриминант.
Подсказка. D = b² − 4ac, старший коэффициент здесь единица.
Как решать. D = 6² − 4·1·4 = 6·6 − 4·4. Знак дискриминанта решает, сколько раз парабола встретит ось.
Ответ: 20
Пример 2. Парабола y = x² − 2·1·x + 7 — член семейства с параметром. Найди абсциссу её вершины.
Подсказка. Минус на минус даёт плюс — следи за знаком коэффициента.
Как решать. Абсцисса вершины равна минус коэффициент при x, делённый на удвоенный старший: здесь коэффициент при x равен −2·1, значит x₀ = 1.
Ответ: 1
Пример 3. В неравенстве x² − k·x + 6 ≤ 0 точка x = 1 лежит на границе множества решений, то есть 1 − k + 6 = 0. Найди k.
Подсказка. Вырази k из уравнения: перенеси остальное вправо.
Как решать. Из уравнения 1 − k + 6 = 0 следует k = 6 + 1. Подстановка граничной точки в трёхчлен — стандартный приём задач с параметром.
Ответ: 7
Пример 4. Неравенство 0·x > 7: сколько у него решений?
Подсказка. Подставь пару значений x и посмотри на левую часть.
Как решать. Слева всегда ноль, а ноль не больше положительного 7. Пустое множество решений — и это отдельная ветка в ответе задачи с параметром.
Ответ: 0
Пример 5. Трёхчлен x² − 2x + 9 входит в квадратное неравенство с ветвями вверх. Вычисли его дискриминант.
Подсказка. D = b² − 4ac, старший коэффициент здесь единица.
Как решать. D = 2² − 4·1·9 = 2·2 − 4·9. Знак дискриминанта решает, сколько раз парабола встретит ось.
Ответ: -32
Пример 6. Парабола y = x² − 2·7·x + 9 — член семейства с параметром. Найди абсциссу её вершины.
Подсказка. Минус на минус даёт плюс — следи за знаком коэффициента.
Как решать. Абсцисса вершины равна минус коэффициент при x, делённый на удвоенный старший: здесь коэффициент при x равен −2·7, значит x₀ = 7.
Ответ: 7
Пример 7. В неравенстве x² − k·x + 2 ≤ 0 точка x = 1 лежит на границе множества решений, то есть 1 − k + 2 = 0. Найди k.
Подсказка. Вырази k из уравнения: перенеси остальное вправо.
Как решать. Из уравнения 1 − k + 2 = 0 следует k = 2 + 1. Подстановка граничной точки в трёхчлен — стандартный приём задач с параметром.
Ответ: 3
Пример 8. Неравенство 0·x > 5: сколько у него решений?
Подсказка. Подставь пару значений x и посмотри на левую часть.
Как решать. Слева всегда ноль, а ноль не больше положительного 5. Пустое множество решений — и это отдельная ветка в ответе задачи с параметром.
Ответ: 0
Пример 9. Трёхчлен x² − 5x + 8 входит в квадратное неравенство с ветвями вверх. Вычисли его дискриминант.
Подсказка. D = b² − 4ac, старший коэффициент здесь единица.
Как решать. D = 5² − 4·1·8 = 5·5 − 4·8. Знак дискриминанта решает, сколько раз парабола встретит ось.
Ответ: -7
Пример 10. Парабола y = x² − 2·5·x + 4 — член семейства с параметром. Найди абсциссу её вершины.
Подсказка. Минус на минус даёт плюс — следи за знаком коэффициента.
Как решать. Абсцисса вершины равна минус коэффициент при x, делённый на удвоенный старший: здесь коэффициент при x равен −2·5, значит x₀ = 5.
Ответ: 5
Пример 11. Неравенство 0·x > 4: сколько у него решений?
Подсказка. Подставь пару значений x и посмотри на левую часть.
Как решать. Слева всегда ноль, а ноль не больше положительного 4. Пустое множество решений — и это отдельная ветка в ответе задачи с параметром.
Ответ: 0
Пример 12. Трёхчлен x² − 7x + 2 входит в квадратное неравенство с ветвями вверх. Вычисли его дискриминант.
Подсказка. D = b² − 4ac, старший коэффициент здесь единица.
Как решать. D = 7² − 4·1·2 = 7·7 − 4·2. Знак дискриминанта решает, сколько раз парабола встретит ось.
Ответ: 41
Пример 13. Парабола y = x² − 2·8·x + 9 — член семейства с параметром. Найди абсциссу её вершины.
Подсказка. Минус на минус даёт плюс — следи за знаком коэффициента.
Как решать. Абсцисса вершины равна минус коэффициент при x, делённый на удвоенный старший: здесь коэффициент при x равен −2·8, значит x₀ = 8.
Ответ: 8
Пример 14. В неравенстве x² − k·x + 7 ≤ 0 точка x = 1 лежит на границе множества решений, то есть 1 − k + 7 = 0. Найди k.
Подсказка. Вырази k из уравнения: перенеси остальное вправо.
Как решать. Из уравнения 1 − k + 7 = 0 следует k = 7 + 1. Подстановка граничной точки в трёхчлен — стандартный приём задач с параметром.
Ответ: 8
Пример 15. Неравенство 0·x > 1: сколько у него решений?
Подсказка. Подставь пару значений x и посмотри на левую часть.
Как решать. Слева всегда ноль, а ноль не больше положительного 1. Пустое множество решений — и это отдельная ветка в ответе задачи с параметром.
Ответ: 0
Пример 16. Трёхчлен x² − 6x + 3 входит в квадратное неравенство с ветвями вверх. Вычисли его дискриминант.
Подсказка. D = b² − 4ac, старший коэффициент здесь единица.
Как решать. D = 6² − 4·1·3 = 6·6 − 4·3. Знак дискриминанта решает, сколько раз парабола встретит ось.
Ответ: 24
Пример 17. Парабола y = x² − 2·9·x + 8 — член семейства с параметром. Найди абсциссу её вершины.
Подсказка. Минус на минус даёт плюс — следи за знаком коэффициента.
Как решать. Абсцисса вершины равна минус коэффициент при x, делённый на удвоенный старший: здесь коэффициент при x равен −2·9, значит x₀ = 9.
Ответ: 9
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Неравенства с параметром» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Сколько случаев в полном ответе на неравенство ax > b?
Ответ: 3
Пояснение. Три: при a > 0 знак сохраняется, при a < 0 разворачивается, при a = 0 нужна отдельная ветка, где всё решает знак b.
Вопрос 2. Сколько решений у неравенства 0·x > 7?
Ответ: ни одного
Пояснение. Слева всегда ноль, а ноль не больше семи: неравенство ложно при каждом x. Множество решений пусто.
Вопрос 3. Выбери верные утверждения о неравенстве ax > b.
Ответ: при a > 0 ответ x > b/a; при a < 0 ответ x < b/a; при a = 0 ответ зависит от знака b
Пояснение. Первые три пункта — точная карта линейного случая. Последний неверен: при a = 0 и b < 0 верно любое число x.
Вопрос 4. Неравенство (x − 2)² ≥ 0 верно при всех x.
Ответ: Верно
Пояснение. Квадрат никогда не бывает отрицательным, а при x = 2 он равен нулю и входит из-за нестрогого знака. Это картина D = 0 с ветвями вверх.
Вопрос 5. Расставь шаги ответа на вопрос «при каких a неравенство верно при всех x».
Ответ: проверить старший коэффициент на вырождение → записать требование как условие на ветви и дискриминант → решить полученное условие относительно a → проверить границу на включённость и записать промежуток
Пояснение. Сначала убеждаемся, что задача квадратная при всех a, затем переводим слова в дискриминант, решаем относительно параметра и в конце проверяем границу.
Вопрос 6. Сопоставь картину параболы и множество решений.
Пояснение. Всё решает картинка: где парабола ниже оси, там и решение. При нестрогом знаке корни присоединяются к промежуткам.
Вопрос 7. Дополни.
Ответ: больше → меняется → отдельно
Пояснение. Положительный коэффициент сохраняет знак, отрицательный переворачивает, ноль требует отдельной ветки с проверкой b.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по алгебре — новое каждый день.