Разложение на множители — алгебра 7 класс: вынесение и группировка

Кассир в буфете считает выручку: 7 пирожков по 38 рублей и столько же пирожков с капустой по 62 рубля. Столбиком считать лень, да и не надо: 7 · 38 + 7 · 62 = 7 · (38 + 62) = 7 · 100 = 700. Он ничего не изобретал — вынес общий множитель за скобки. Тот же приём превращает громоздкие многочлены в аккуратные произведения и помогает решать уравнения, которые иначе не берутся.

Вынесение общего множителя за скобки

Приём работает в обратную сторону от распределительного свойства: если у слагаемых есть общий множитель, его выносят за скобки. Алгоритм: найди наибольший общий делитель коэффициентов, затем наименьшую степень общей переменной и раздели каждое слагаемое на вынесенное. В примере 12x³ − 8x² общий делитель коэффициентов 12 и 8 равен 4, общая переменная x входит минимум во второй степени: выносим 4x² и получаем 4x²(3x − 2). Ещё пример: 6a²b − 9ab² = 3ab(2a − 3b). Каждое слагаемое разделилось без остатка — значит, множитель найден верно.

Способ группировки

Бывает, что общего множителя у всех слагаемых нет. Тогда слагаемые разбивают на группы, в каждой выносят свой множитель — и в скобках остаётся одно и то же выражение. Например: x³ + 3x² + x + 3 = x²(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x² + 1). Следи и за минусами: в выражении a² + ab − ac − bc вторая группа берётся в скобки вместе с минусом, (a² + ab) − (ac + bc) = a(a + b) − c(a + b) = (a + b)(a − c). Группировка — это поиск «родственников» среди слагаемых: собери тех, у кого есть общая буква или общий числовой множитель.

Формулы сокращённого умножения: третий инструмент

Кроме вынесения и группировки есть третий инструмент — формулы сокращённого умножения. Главная из них — разность квадратов: x² − y² = (x − y)(x + y). Как только видишь разность двух квадратов, разложение готово: x² − 49 = (x − 7)(x + 7), а 9a² − 4b² = (3a − 2b)(3a + 2b). Вторая рабочая формула — квадрат суммы: x² + 2xy + y² = (x + y)². По ней 4a² + 4a + 1 = (2a + 1)²: четыре — это два в квадрате, а единица — единица в квадрате.

Формулы работают в обе стороны, и в этом их сила. Слева направо — разложение на множители. Справа налево — свёртка в компактную запись. Внимание к «портрету» формулы: у разности квадратов ровно два слагаемых, между ними минус, и оба — точные квадраты. Перед 25b² − 1 мелькнёт узнавание: 25b² = (5b)², а 1 = 1², значит всё раскладывается в (5b − 1)(5b + 1). А вот сумма квадратов x² + 9 так не раскладывается — вечная ловушка контрольных: никакая школьная формула её не берёт.

Порядок применения приёмов обычно такой: сначала вынеси общий множитель, если он есть, потом посмотри на то, что осталось в скобках, — не разность ли это квадратов и не полный ли квадрат. Так в примере 2a² − 50 общий множитель 2 даёт 2(a² − 25), а внутри уже видна разность квадратов: 2(a − 5)(a + 5). Останавливаться после первого шага — типичная потеря баллов: разложение продолжается, пока в скобках что-то раскладывается.

Что даёт разложение: дроби, счёт, уравнения

Разложение — не упражнение для галочки: без него не сократить алгебраическую дробь. Дробь (x² − 9) : (x + 3) сама по себе не сокращается, но стоит разложить числитель в (x − 3)(x + 3), как общий множитель x + 3 уходит и остаётся x − 3. Тот же приём в старших классах работает с любыми рациональными дробями, поэтому вынесение, группировка и формулы будут с тобой до выпускного.

Второй подарок — устный счёт. Вычислить 87² − 13² в столбик — минута и шанс ошибиться. Но по формуле это (87 − 13)(87 + 13) = 74 · 100 = 7400 — мгновенно. Любая разность квадратов больших чисел считается на пальцах: 152² − 48² = 104 · 200 = 20800. Сначала разложи, потом умножай — любимый приём тренажёров и олимпиад.

И третий подарок — уравнения. Уравнение x² − 3x = 0 подбором тяжело: у него два корня, и один из них ноль. Выносим x: x(x − 3) = 0. Произведение равно нулю ровно тогда, когда нулевой множитель один из двух: x = 0 или x = 3. Без разложения такие уравнения в седьмом классе вообще не решаются — приём как бы понижает степень, раскладывая её на удобные куски.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Разложение на множители#

представление многочлена в виде произведения

Общий множитель#

выражение, входящее в каждое слагаемое многочлена

Группировка#

приём: слагаемые собирают в группы с одинаковой скобкой

Разность квадратов#

формула x² − y² = (x − y)(x + y)

Неполное разложение#

остановка на полпути: внутри скобок остался общий множитель

Тождество#

равенство, верное при всех допустимых значениях переменных

Как это спрашивают на контрольной

• «Разложи на множители» — сначала общий множитель, потом группировка или формула
• «Сократи дробь» — раскладывай и числитель, и знаменатель, потом убирай общую скобку
• «Решите уравнение разложением» — произведение равно нулю, когда нулевой один из множителей
• «Вычисли устно» — разность квадратов больших чисел: (87 − 13)(87 + 13)

Последний навык темы — проверка подстановкой. Разложил ab + ac + 2b + 2c — подставь a = 1, b = 2, c = 3 в исходное выражение и в разложение: должно выйти одно и то же число. В исходном 1 · 2 + 1 · 3 + 4 + 6 = 15, в разложении (a + 2)(b + c) = 3 · 5 = 15. Сошлось — разложение верное. Это пятисекундная проверка, которая спасает от половины ошибок на контрольной.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема