Что такое функция — алгебра 7 класс: область определения и график
Тариф такси 100 + 12s подводит к главному определению алгебры: функция, аргумент, область определения. Строим графики y = x² и y = x³ по таблице значений.
Такси в твоём городе берёт 100 рублей за посадку и 12 рублей за каждый километр. На 3 километра выйдет 136 рублей, на 7 — 184, на 15 — 280. За каждым таким расчётом прячется правило: сколько километров ни назови, стоимость определяется однозначно. Такое правило «одно x — ровно один y» математики называют функцией, и на нём держится вся алгебра с седьмого класса до ЕГЭ.
Функция: правило «одно x — один y»
Функция — правило, по которому каждому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой. В тарифе такси независимая переменная, её называют аргументом, — километраж s; зависимая — стоимость C. Правило записывают коротко: C = 100 + 12s. Область определения — все значения аргумента, которые имеет смысл подставлять: поездка не бывает отрицательной, так что здесь s ≥ 0. У функции y = 5 : (x − 3) область определения своя: x ≠ 3, потому что при x = 3 получится деление на ноль.
Таблица значений и график
Чтобы нарисовать график, составляют таблицу значений: несколько удобных x и их y. Для y = x² берут x = −2, −1, 0, 1, 2 и получают 4, 1, 0, 1, 4 — точки ложатся на плавную кривую, её называют параболой. У y = x³ картина другая: при тех же x значения −8, −1, 0, 1, 8, и кривая уходит слева вниз, а справа вверх. График — не украшение: это все пары (x; y) сразу, по нему видно поведение функции целиком.
| x | y = x² | y = x³ |
|---|---|---|
| −2 | 4 | −8 |
| −1 | 1 | −1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
- Составляем таблицу значений: при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаем y = 4, 1, 0, 1, 4.
- Отмечаем точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) на координатной плоскости.
- Соединяем плавной линией — выходит парабола: ветви вверх, вершина в начале координат.
- Проверка подстановкой: точка (3; 9) тоже должна лечь на кривую, ведь 3² = 9. Сошлось.
Четыре способа задать функцию
Одно и то же правило можно упаковать по-разному, и на уроках все четыре упаковки встречаются постоянно. Формула — самый точный способ: C = 100 + 12s мгновенно считает стоимость для любого километража. Таблица значений — способ для проверки и построения: несколько пар «аргумент — значение». График — вся функция целиком одним взглядом. А словесное описание выручает там, где формулы нет: «каждому натуральному числу ставим в соответствие его квадрат» — это тоже функция, заданная словами.
- формулой: y = 2x + 5 — точно и подходит для любого x
- таблицей: пары значений для нескольких удобных x
- графиком: кривая на координатной плоскости
- словами: «каждому числу — его квадрат»
Способы свободно переводятся друг в друга, и именно это спрашивают на контрольных. Дана таблица — распознай формулу: значения 1, 3, 5, 7 при x = 0, 1, 2, 3 намекают на y = 2x + 1. Дана формула — построй таблицу и график. Дан график — прочитай по нему пару точек. Гибкость между способами и есть понимание темы: застрял на одном виде записи — считай, функции не понял.
Линейная функция: коротко о главной
Самая важная функция седьмого класса — линейная: y = kx + b. Её график — прямая, k задаёт наклон, b показывает, где прямая пересекает ось y. Тариф такси 100 + 12s — линейная функция: посадка даёт b = 100, а каждый километр добавляет по k = 12 рублей. При k > 0 прямая идёт вверх, при k < 0 — вниз, а при b = 0 она проходит ровно через начало координат.
Линейность узнаётся по одному признаку: аргумент в первой степени и ничего не перемножается с самим собой. Сколько стоит поездка на 10 километров? 100 + 12 · 10 = 220 рублей. Каждая прибавка в один километр даёт одну и ту же прибавку в цене — по 12 рублей, и это главный след линейности. В жизни таких зависимостей полно: оплата электричества по счётчику, бак, наполняющийся с постоянной скоростью, духи, которые наливают по граммам на кассе. Проверь на глаз: равные шаги входа дают равные шаги выхода — перед тобой линейная функция.
Функции вокруг тебя
Как только начинаешь смотреть на мир глазами функций, они лезут отовсюду. Масса куска железа зависит от его объёма: 1 кубический сантиметр — это 7,9 грамма, значит m = 7,9v. Длина окружности зависит от радиуса: C = 2πr, около 6,28 сантиметра на каждый сантиметр радиуса. Путь автобуса зависит от времени: 45 км/ч умножить на часы в дороге. В каждом примере одно и то же: назвал вход — получил единственный выход.
Задание функции — это договор. Область определения — та часть договора, где перечислено, какие входы вообще принимаются. У такси это s ≥ 0: километраж не бывает отрицательным. У функции y = 5 : (x − 3) запрещён только x = 3. У счётчика электричества вход — израсходованные киловатт-часы, и дробные значения там тоже допустимы. Умеешь читать эту часть договора — никогда не подставишь в формулу то, чего формула не принимает.
Историки математики приписывают слово «функция» Лейбницу: в рукописи 1673 года он назвал функцией отрезок, связанный с точкой на кривой. Эйлер в XVIII веке ввёл короткую запись f(x), которой пользуются до сих пор: f — правило, x — вход. Запись y = f(x) означает ровно это: возьми x, прогони через правило f, получи y.
Полезно научиться и читать график, нарисованный кем-то другим. На графике поездки видно, где такси стояло в пробке: участок, где линия ползёт вправо, а высота не меняется, — стоимость не растёт, значит машина не едет. Крутой подъём линии — быстрый набор рублей. График отвечает на вопросы быстрее таблицы: сколько заплатим на 20-м километре, когда счёт перевалит за 250 рублей, растёт ли цена вообще. Эти навыки пригодятся и на физике, где графики скорости и пути встречаются каждый месяц.
Разбор типовой задачи
- Условие: оператор берёт 200 рублей абонплаты и 5 рублей за каждый гигабайт трафика. Слова переводим в формулу: C = 200 + 5g.
- Область определения: расход трафика не бывает отрицательным, значит g ≥ 0.
- Таблица значений: при g = 0, 1, 2, 3 получаем C = 200, 205, 210, 215.
- Отмечаем точки (0; 200), (1; 205), (2; 210), (3; 215) и проводим через них прямую.
- Проверка по формуле: g = 4 даёт 200 + 20 = 220 — точка (4; 220) ложится на прямую.
- Читаем график: k = 5 — каждый гигабайт дороже на 5 рублей, b = 200 — даже при нулевом трафике платим 200.
Словарь урока
- Функция#
- правило: каждому значению аргумента соответствует ровно одно значение
- Аргумент#
- независимая переменная, значение выбираешь ты
- Значение функции#
- зависимая переменная y, получается из аргумента по правилу
- Область определения#
- все значения аргумента, которые имеет смысл подставлять
- Линейная функция#
- функция вида y = kx + b, её график — прямая
- Таблица значений#
- способ задать функцию набором пар «аргумент — значение»
Как это спрашивают на контрольной
- «Найди значение функции по формуле» — подставь аргумент и не потеряй минус
- «При каком аргументе значение равно…» — реши уравнение: здесь функция читается наоборот
- «Задай функцию формулой по словам» — выдели постоянную часть и часть, растущую с x
- «Построй график по таблице» — точки, проверка контрольной точкой, плавная линия
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Сколько стоит поездка на 9 километров, если посадка 100 рублей и 12 рублей за километр?
2 График функции y = x² называется...
3 График y = x³ проходит через точку (−1; 1).
4 Чему не может равняться x в функции y = 5 : (x − 3)?
5 Какие из записей задают функцию?
6 Сопоставь термин и его смысл.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи зависимости по типам.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
8 Дополни определения.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Каждому значению аргумента соответствует значение функции. Все допустимые значения аргумента образуют . Все пары (x; y) вместе образуют функции.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем функция отличается от уравнения?
Функция — правило пересчёта: подставляешь любой x, получаешь y. Уравнение — вопрос: при каком x равенство верно. В функции ищут значение по аргументу, в уравнении — сам аргумент.
Что такое аргумент простыми словами?
Это число, которое ты выбираешь и подставляешь. В тарифе такси аргумент — километраж: его задаёшь ты, а стоимость получается сама. Аргумент всегда один на «входе» правила.
Как по таблице понять, что зависимость — не функция?
Посмотри на столбец x: если одно и то же значение x встречается с разными y, правило даёт несколько ответов сразу — это не функция. Повторы x с одним y не мешают.
Зачем рисовать график, если можно считать по формуле?
График показывает всё поведение сразу: где функция растёт, где убывает, где вершина. По формуле придётся пересчитывать десятки значений, а график отвечает на взгляд.