Среднее арифметическое, размах, мода и медиана — алгебра 7 класс

Каждое утро ты добираешься до школы, и телефон честно записывает время. За восемь дней набежал такой список: 18, 22, 17, 25, 20, 23, 22 и 13 минут. Мама спрашивает: «Ну и сколько ты добираешься?» Ответить честно — значит обработать данные: сложить, упорядочить, найти самое частое значение. Ровно этим занимается статистика, а четыре её главные цифры для такого ряда ты посчитаешь за пять минут.

Среднее арифметическое и размах

Среднее арифметическое — сумма всех чисел ряда, делённая на их количество. Складываем 18 + 22 + 17 + 25 + 20 + 23 + 22 + 13, получаем 160, делим на 8 — выходит ровно 20 минут. Размах показывает, насколько данные разбросаны: отнимаем от наибольшего значения наименьшее, 25 − 13 = 12 минут. Одна неудачная поездка меняет обе цифры: если вместо 25 минут дорога заняла бы 60, среднее подскочило бы до 24,4, а размах — до 47.

Мода и медиана

Мода — значение, которое встречается чаще других. В нашем ряду число 22 появляется дважды, остальные — по одному разу, значит мода равна 22. Медиана — число в середине упорядоченного ряда: выпиши числа по возрастанию — 13, 17, 18, 20, 22, 22, 23, 25 — и найди середину. Чисел восемь, поэтому в середине стоят 20 и 22, а медиана — их полусумма: (20 + 22) : 2 = 21. У ряда с нечётным количеством чисел медиана — просто среднее число: в ряду 3, 7, 9 это 7.

Среднее против медианы: какая цифра честнее

Объявление на двери фирмы: «средняя зарплата у нас — 90 тысяч рублей». В команде пять человек с зарплатами 30, 35, 40, 45 и 300 тысяч. Складываем: 450 тысяч, делим на пять — и правда выходит 90. Но четверо из пяти сотрудников зарабатывают меньше этой цифры: среднее вытягнул вверх единственный директор. Медиана у того же ряда совсем другая: середина упорядоченного ряда 30, 35, 40, 45, 300 — это 40 тысяч. Вот она показывает «типичного» сотрудника, а среднее показывает сумму, поделенную поровну.

Поэтому характеристику выбирают под задачу. Среднее нужно там, где важна общая сумма: средний чек умножают на число покупателей и получают выручку дня. Медиана нужна там, где важно «типичное» значение и болтаются выбросы: цены на жильё, доходы, время сбора в школу. Размах берут, когда важен разброс: «за неделю температура прыгала от 3 до 18 градусов» — это размах 15 градусов. На вопрос «а что типично?» обычно честнее всех отвечает медиана.

Есть ещё одна хитрость, на которой любят строить вопросы. Если к каждому числу ряда прибавить одно и то же, среднее прибавит столько же, медиана сдвинется на эту добавку, а размах останется прежним — ведь наибольшее и наименьшее выросли вместе. Если каждое число умножить на одно и то же, всё масштабируется: среднее и медиана умножаются, а размах вырастает во столько же раз. Эти правила экономят время на контрольной: не нужно пересчитывать весь ряд, чтобы узнать, что стало со средним.

Таблица частот: когда данных много

Когда в ряду не восемь, а восемьдесят чисел, выписывать их подряд неудобно. Одинаковые значения собирают в таблицу частот: слева — значение, справа — сколько раз оно встретилось. Двадцать ребят из двух седьмых классов ответили, сколько часов в день они проводят в телефоне, и вот вся их статистика на одной табличке.

По такой таблице все характеристики считаются почти так же, как по ряду. Среднее: каждое значение умножаем на частоту, складываем и делим на число людей: (0 · 2 + 1 · 5 + 2 · 8 + 3 · 4 + 4 · 1) : 20 = 37 : 20 = 1,85 часа. Мода — значение с наибольшей частотой: 2 часа, их назвали восемь человек. Размах 4 − 0 = 4 часа. Медиану ищут через накопленные частоты: два человека с нулём, к концу строки «1 час» набралось 7, к концу строки «2 часа» — 15. Десятый и одиннадцатый элементы попадают в строку «2 часа», значит медиана равна 2.

Такую таблицу рисуют и столбчатой диаграммой: по горизонтали значения, высота столбика — частота. Самый высокий столбик сразу показывает моду, а сумма всех частот — объём данных. Магазины так подбирают ассортимент: за месяц продали 40 пар обуви, по размерам составили таблицу частот — и самый высокий столбик сказал, какой размер заказывать у поставщика в первую очередь. Мода вообще самая «бытовая» из характеристик: самый ходовой размер, самый частый автобус, самый популярный ответ на опрос — всё это моды своих рядов.

Статистика начинается с честного сбора данных. В опросе заранее придумывают варианты ответов — иначе таблица частот превратится в кашу: «немного», «много», «не знаю» не сложатся в один ряд. И следи, чтобы опрошенные были сравнимы: если спросить про телефон у семиклассников и их бабушек, таблица смешает две разные компании, и среднее потеряет смысл. Сначала вопрос с вариантами, потом таблица, потом характеристики — таков порядок любой настоящей статистической задачи.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Частота#

сколько раз значение встретилось в ряду

Таблица частот#

запись большого ряда: значение и число его повторений

Выброс#

значение, резко выпадающее из ряда и искажающее среднее

Упорядоченный ряд#

ряд по возрастанию — обязательный шаг перед поиском медианы

Накопленная частота#

сколько элементов ряда не превышают данного значения

Среднее арифметическое#

сумма всех значений, делённая на их количество

Как это спрашивают на ВПР

• «Найди среднее и медиану ряда» — перед медианой обязательно упорядочи числа
• «К каждому числу ряда прибавили 5 — как изменилось среднее?» — выросло на те же 5
• «Каждое число умножили на 3 — что стало со средним?» — выросло втрое
• «Найди моду по таблице частот» — ищи строку с наибольшей частотой
• «Какая характеристика не боится выбросов?» — медиана, а среднее от них растёт

Заметь: медиана из таблицы оказалась целым числом 2, хотя среднее — дробное 1,85. Так бывает, и это не ошибка. Ответ на вопрос «сколько в среднем» может быть дробным: полтора часа в день не покажешь на одном человеке, но как характеристика ряда число честное. Медиана же всегда совпадает с реальным значением ряда или с полусуммой двух реальных — поэтому на вопрос «что типично» отвечать удобнее именно ею.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема