Скалярное произведение векторов — тренажёр
Тренировка по теме «Скалярное произведение векторов»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Найди скалярное произведение векторов a(4; 1) и b(1; 7).
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
14 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Найди скалярное произведение векторов a(6; 4) и b(4; 4).
Подсказка. Первая координата с первой, вторая со второй.
Как решать. Умножаем одноимённые координаты и складываем: 6 · 4 + 4 · 4.
Ответ: 40
Пример 2. Найди длину вектора a(3·1; 4·1).
Подсказка. Координаты (3; 4) дают длину 5.
Как решать. Вектор (3·1; 4·1) — это вектор (3; 4), растянутый в 1 раз. Теорема Пифагора даёт 9·1² + 16·1² = 25·1², длина равна 5·1.
Ответ: 5
Пример 3. Векторы сонаправлены, их длины равны 7 и 6. Найди их скалярное произведение.
Подсказка. Какой косинус у угла 0°?
Как решать. Угол между сонаправленными векторами 0°, косинус равен 1: произведение равно произведению длин 7 · 6.
Ответ: 42
Пример 4. Найди скалярное произведение векторов a(2; 9) и b(9; 5).
Подсказка. Первая координата с первой, вторая со второй.
Как решать. Умножаем одноимённые координаты и складываем: 2 · 9 + 9 · 5.
Ответ: 63
Пример 5. Найди длину вектора a(3·7; 4·7).
Подсказка. Координаты (3; 4) дают длину 5.
Как решать. Вектор (3·7; 4·7) — это вектор (3; 4), растянутый в 7 раз. Теорема Пифагора даёт 9·7² + 16·7² = 25·7², длина равна 5·7.
Ответ: 35
Пример 6. Векторы сонаправлены, их длины равны 3 и 4. Найди их скалярное произведение.
Подсказка. Какой косинус у угла 0°?
Как решать. Угол между сонаправленными векторами 0°, косинус равен 1: произведение равно произведению длин 3 · 4.
Ответ: 12
Пример 7. Найди скалярное произведение векторов a(5; 8) и b(8; 3).
Подсказка. Первая координата с первой, вторая со второй.
Как решать. Умножаем одноимённые координаты и складываем: 5 · 8 + 8 · 3.
Ответ: 64
Пример 8. Найди длину вектора a(3·5; 4·5).
Подсказка. Координаты (3; 4) дают длину 5.
Как решать. Вектор (3·5; 4·5) — это вектор (3; 4), растянутый в 5 раз. Теорема Пифагора даёт 9·5² + 16·5² = 25·5², длина равна 5·5.
Ответ: 25
Пример 9. Найди скалярное произведение векторов a(7; 2) и b(6; 8).
Подсказка. Первая координата с первой, вторая со второй.
Как решать. Умножаем одноимённые координаты и складываем: 7 · 6 + 2 · 8.
Ответ: 58
Пример 10. Найди длину вектора a(3·8; 4·8).
Подсказка. Координаты (3; 4) дают длину 5.
Как решать. Вектор (3·8; 4·8) — это вектор (3; 4), растянутый в 8 раз. Теорема Пифагора даёт 9·8² + 16·8² = 25·8², длина равна 5·8.
Ответ: 40
Пример 11. Векторы сонаправлены, их длины равны 8 и 9. Найди их скалярное произведение.
Подсказка. Какой косинус у угла 0°?
Как решать. Угол между сонаправленными векторами 0°, косинус равен 1: произведение равно произведению длин 8 · 9.
Ответ: 72
Пример 12. Найди скалярное произведение векторов a(6; 3) и b(9; 5).
Подсказка. Первая координата с первой, вторая со второй.
Как решать. Умножаем одноимённые координаты и складываем: 6 · 9 + 3 · 5.
Ответ: 69
Пример 13. Найди длину вектора a(3·9; 4·9).
Подсказка. Координаты (3; 4) дают длину 5.
Как решать. Вектор (3·9; 4·9) — это вектор (3; 4), растянутый в 9 раз. Теорема Пифагора даёт 9·9² + 16·9² = 25·9², длина равна 5·9.
Ответ: 45
Пример 14. Векторы сонаправлены, их длины равны 3 и 8. Найди их скалярное произведение.
Подсказка. Какой косинус у угла 0°?
Как решать. Угол между сонаправленными векторами 0°, косинус равен 1: произведение равно произведению длин 3 · 8.
Ответ: 24
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Скалярное произведение векторов» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Чему равно скалярное произведение векторов a(2; 3) и b(4; 1)?
Ответ: 11
Пояснение. 2 · 4 + 3 · 1 = 11: умножаем одноимённые координаты и складываем.
Вопрос 2. Векторы a(6; 8) и b(x; −6) перпендикулярны. Найди x.
Ответ: 8
Пояснение. Перпендикулярность означает a·b = 0: 6x − 48 = 0, откуда x = 8.
Вопрос 3. Скалярное произведение векторов может быть отрицательным.
Ответ: Верно
Пояснение. Если угол между векторами тупой, косинус отрицателен: длины 2 и 3 под углом 120° дают 2 · 3 · (−0,5) = −3.
Вопрос 4. Выбери все пары перпендикулярных векторов.
Ответ: a(3; 4) и b(−4; 3); a(5; 0) и b(0; 7)
Пояснение. Считаем произведение: −12 + 12 = 0 подходит, 6 + 6 = 12 нет, 0 + 0 = 0 подходит, 6 + 6 = 12 нет.
Вопрос 5. Расставь пары векторов по возрастанию их скалярного произведения.
Ответ: длины 4 и 5, векторы перпендикулярны → длины 2 и 2, угол 60° → длины 2 и 3, угол 60° → длины 1 и 6, угол 30°
Пояснение. Произведения: 0, 2, 3 и примерно 5,2 — косинус 30° около 0,87.
Вопрос 6. Сопоставь вид угла и знак скалярного произведения.
Пояснение. Косинус острого угла положителен, прямого — ноль, тупого — отрицателен.
Вопрос 7. Вставь пропущенное.
Ответ: 13 → острый
Пояснение. 8 + 5 = 13, произведение положительно, значит угол острый.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.