Как решать задачи на части, доли и проценты в 5-6 классе

Задачи на части, доли и проценты — самые частые в пятом и шестом классе и самые обидные: условие читается легко, а после первого действия непонятно, что делить и на что умножать. Хорошая новость: это одна и та же задача в трёх одеждах. Часть — кусочек целого, дробь — запись части числом, процент — дробь со знаменателем сто. Если научиться свободно переводить одну запись в другую, почти любая такая задача решается в два действия. В гайде — алгоритм для задач на части, два главных действия с дробями и процентами, таблицы типовых ситуаций с колонкой «где ошибаются» и проверка, которая ловит перепутанные действия за секунду.

Задачи на части

В задачах на части целое разрезано на равные кусочки, и известно, сколько частей у каждого участника. Пример: сплав состоит из двух частей меди и трёх частей цинка, всего 350 г. Решение всегда одно и то же: сначала сосчитать общее число частей — пять, затем найти массу одной части — 70 г, и только после этого отвечать на вопрос: меди 140 г, цинка 210 г. Вариант с разностью работает так же: если цинка на 30 г больше, а частей у него на одну больше, то разность масс приходится ровно на одну часть, и дальше всё как раньше. Отдельный жанр — части с процентами: «в книге 240 страниц, Ваня прочитал 25%» — двадцать пять процентов это четверть, то есть одна часть из четырёх, и дальше снова работает подсчёт частей. Не пугайся, когда в условии части названы странными словами: «клетка», «порция», «машин» — всё это та же самая часть, просто с бытовым именем, и алгоритм не меняется.

Доли и дроби

Дробь — часть целого, записанная числом: знаменатель показывает, на сколько частей разрезали, числитель — сколько взяли. Отсюда два главных действия года. Найти дробь от числа — умножить: две трети от 60 — это 60, делённое на три и умноженное на два, то есть 40. Найти число по его дроби — разделить: если две трети числа равны 40, всё число равно 40, делённому на две трети, то есть 60. Эти действия путают в обе стороны, поэтому держи проверку: часть всегда меньше целого. Значит, при поиске части ответ обязан уменьшиться, а при поиске целого — увеличиться. Если вышло наоборот, действие перепутано. Третий типовой вопрос — какую часть одно число составляет от другого: дели часть на целое и, если нужно, сокращай дробь по основному свойству. Полезно и рисовать: короткая полоска, разрезанная на знаменатель кусочков, где закрашено столько, сколько показывает числитель, превращает абстрактную дробь в картинку, на которой оба действия видно глазами: сначала размер одного кусочка, потом всех закрашенных вместе.

Проценты

Процент — сотая часть, поэтому проценты переводятся в дробь мгновенно: 25% — четверть, 50% — половина, 20% — пятая часть, 10% — десятая. Дальше работают те же два действия, что с дробями: найти процент от числа — умножить число на дробь, найти число по проценту — разделить. Полезный приём для устного счёта: 10% — это число, делённое на десять, а 5% — половина от этого, и из таких кусочков складываются почти любые проценты. Для задач «было и стало» удобен коэффициент: рост цены на 20% — умножение на 1,2, скидка 25% — умножение на 0,75. Отсюда сразу видно главное: поднять цену на 20% и потом опустить на 20% не значит вернуться к исходной, ведь вторые двадцать процентов считаются уже от новой суммы.

Закрепляй каждую ветку на уроках: дроби и их смысл — на /matematika/5-klass/obyknovennye-drobi/, проценты пятого класса — на /matematika/5-klass/procenty-5/, десятичные дроби для перевода процентов — на /matematika/5-klass/desyatichnye-drobi/. Умножение и деление дробей, на которых держится всё, — на /matematika/6-klass/umnozhenie-drobej/ и /matematika/6-klass/delenie-drobej/, основное свойство дроби для сокращения — на /matematika/6-klass/osnovnoe-svojstvo-drobi/. Пропорции и пропорциональность — на /matematika/6-klass/proporcii/ и /matematika/6-klass/proporcionalnye-zavisimosti/, проценты шестого класса с задачами посложнее — на /matematika/6-klass/procenty-6/. Проверить вычисления можно на калькуляторах /calc/procenty/ и /calc/drobi/. Дальше углубляйся гайдами: методика процентных задач разобрана в /guides/kak-reshat-zadachi-na-procenty/, сводная шпаргалка по курсу — в /guides/shpargalka-matematika-5-6/, а задачи на смеси и растворы — это те же части, только с концентрациями: /guides/kak-reshat-zadachi-na-rastvory/.