Гайд2026-09-01

Шпаргалка по алгебре за 9 класс: все формулы

Q: Как быстро повторить всю алгебру за 9 класс перед контрольной?

Прогони шпаргалку таблица за таблицей с закрытой правой колонкой: формулы сокращённого умножения, дискриминант с Виетом, метод интервалов, шесть формул прогрессий, пять графиков и способы решения систем. Что не вспомнилось — реши по одной задаче на эту тему на уроке, ссылки в конце страницы.

Q: Чем теорема Виета помогает на экзамене?

Дважды: на подборе и на проверке. У приведённого уравнения корни — пара чисел с суммой минус p и произведением q, и у простых уравнений они находятся перебором за секунды. А корни, найденные по формуле, проверяются сложением и умножением: не сошлось — где-то потерян минус.

Q: Когда сумма бесконечного числа членов геометрической прогрессии конечна?

Когда модуль знаменателя меньше единицы: члены убывают, и их сумма сходится к частному от деления первого члена на разность единица минус q. Классический пример — прогрессия с половиной: каждый член вдвое меньше предыдущего, а сумма всех членов равна удвоенному первому.

Q: Как понять, что метод интервалов применён правильно?

Три проверки: на оси стоят все нули числителя и знаменателя, нули знаменателя выколоты, в ответе записаны промежутки, а не отдельные числа. Финальный контроль — подставь любую точку из ответа в исходное неравенство: получилось верное числовое неравенство, значит знаки расставлены верно.

Вся алгебра девятого класса в компактных таблицах: формулы сокращённого умножения, квадратные уравнения с Виетом, неравенства и метод интервалов, шесть формул прогрессий, графики функций и системы уравнений. Формат «формула — когда применять — где ошибаются».

Девятый класс — последний год алгебры до ОГЭ, и почти вся первая часть экзамена строится на шести семьях формул: сокращённое умножение, квадратные уравнения, неравенства, две прогрессии, графики и системы. Ошибаются здесь не на сложном, а на автомате: минус перед скобкой в формуле, потерянный корень в методе интервалов, перепутанные местами сумма и произведение у Виета. Шпаргалка собрана под быстрый прогон: в каждой таблице — формула и короткое пояснение, когда её включать. Закрой правую колонку листом бумаги, восстанови строку по памяти, сверься; что не вспомнилось — догоняй на уроке по ссылкам в конце страницы. Полчаса накануне контрольной по такому прогону работают лучше, чем вечер с учебником наугад.

Формулы сокращённого умножения

ФСУ — главный инструмент девятого класса: они нужны везде, где просят разложить многочлен на множители, свернуть длинное выражение, сократить дробь или доказать тождество. Ловятся на двух вещах: на знаках в кубах суммы и разности и на путанице «квадрат разности против разности квадратов». Проверяй себя так: квадрат разности разворачивается в три слагаемых со средним минус удвоенное произведение, а разность квадратов — это произведение двух скобок. Если в задании написано «упростить», почти всегда первым ходом идёт свёртка или развёртка по этой таблице.

Формула	Как читать	Где ошибаются
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$	квадрат суммы: три слагаемых, среднее — удвоенное произведение	пишут $a^{2} + b^{2}$ , теряя удвоенное произведение
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$	квадрат разности: средний член с минусом	теряют минус при раскрытии $(3 - x)^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	разность квадратов сворачивается в пару скобок	пытаются свернуть сумму квадратов $a^{2} + b^{2}$ — так нельзя
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	куб суммы: коэффициенты 1, 3, 3, 1	пишут $a^{3} + b^{3}$ и теряют три промежуточных слагаемых
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$	знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус	ставят минус перед всем выражением вместо чередования
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$	сумма кубов: во второй скобке минус	пишут плюс во второй скобке, перепутав с кубом суммы
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$	разность кубов: во второй скобке плюс	меняют знаки в двух скобках одновременно

Квадратные уравнения и теорема Виета

Любое квадратное уравнение приводится к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ при $a \neq = 0$ , и дальше работает один алгоритм: коэффициенты, дискриминант, корни. Виет экономит время дважды — сначала на устном подборе корней приведённого уравнения, потом на проверке найденных по формуле. В девятом классе к этому добавляется разложение квадратного трёхчлена на множители: без него не решаются дробно-рациональные уравнения и не сокращаются дроби с иксом в квадрате. Биквадратное уравнение — та же история с заменой: свёл к квадратному, решил, вернулся к иксу.

Случай	Формула или действие	Когда применять
Дискриминант	$D = b^{2} - 4 a c$	считай первым: знак D решает, сколько корней искать
Корни	$x = \frac{- b \pm D}{2 a}$	при $D > 0$ получаются два корня — подставляй оба
$D = 0$	$x = - \frac{b}{2 a}$	корень один, но он есть; запись «нет корней» здесь ошибка
$D < 0$	действительных корней нет	останавливайся: извлекать корень из отрицательного нельзя
Неполное $a x^{2} + b x = 0$	вынеси $x$ : корни $0$ и $- \frac{b}{a}$	когда свободного члена нет — один корень всегда ноль
Неполное $a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a}$ , корни противоположны	когда нет слагаемого с иксом
Биквадратное $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$	замена $t = x^{2}$ , потом возврат к иксу	в ответ идут значения $x$ , а не промежуточной $t$
Виет (приведённое)	$x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$	для $x^{2} + p x + q = 0$ : подбирай пару чисел с такой суммой и произведением
Виет (общее)	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$	проверка корней из формулы за десять секунд
Разложение трёхчлена	$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	для сокращения дробей и дробно-рациональных уравнений

Неравенства и метод интервалов

Линейное неравенство решается как уравнение с одной поправкой: деление обеих частей на отрицательное число переворачивает знак. Квадратные и дробные неравенства быстрее всего закрываются методом интервалов: разложи на множители, отметь нули на оси, расставь знаки, выбери промежутки. В ответе девятого класса почти всегда промежуток, а не отдельное число, и именно на записи ответа чаще всего сгорают баллы. Системы неравенств решаются по очереди, а потом пересекаются.

Ситуация	Правило	Где ошибаются
Деление на минус	знак меняется: из $- 2 x < 6$ выходит $x > - 3$	делят обе части и забывают перевернуть знак
Подготовка к интервалам	перенеси всё в одну сторону и разложи на множители	начинают расставлять знаки прямо по слагаемым
Точки на оси	нули числителя и нули знаменателя	забывают нули знаменателя — они выкалываются всегда
Строгое и нестрогое	у строгих точки выколоты, у нестрогих закрашены	закрашивают ноль знаменателя даже у нестрогого неравенства
Кратный корень	через корень чётной кратности знак не меняется	рисуют смену знака в каждой подряд идущей точке
Квадратное $a x^{2} + b x + c > 0$	при $a > 0$ ответ — вне корней параболы	пишут «между корнями», не глядя на знак $a$
Система неравенств	ответ — пересечение двух промежутков	объединяют промежутки вместо пересечения

Прогрессии: шесть формул и два свойства

Прогрессии — самая формульная тема года: шесть основных формул закрывают почти любую задачу. Арифметическая прогрессия — про прибавление шага d, геометрическая — про умножение на множитель q. Первое действие в задаче: определи, какая прогрессия перед тобой. «Каждый следующий на 5 больше» — арифметическая, «в 3 раза больше» — геометрическая. Дальше формула выбирается по данным: есть последний член — первая формула суммы, известны только первый член и шаг — вторая.

Что ищем	Формула	Пояснение
Член арифметической	$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$	номер минус один умножается на шаг d
Сумма арифметической	$S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$	когда известны первый и последний члены
Сумма через разность	$S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ) \cdot n}{2}$	когда последнего члена нет, а шаг d известен
Член геометрической	$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$	первый член умножается на q в степени номер минус один
Сумма геометрической	$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$	при $q \neq = 1$ ; следи за знаком знаменателя
Бесконечно убывающая	$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$	при $∣ q ∣ < 1$ : сумма конечна, хотя членов бесконечно много
Свойство арифметической	$a_{k} = \frac{a _{k - 1} + a _{k + 1}}{2}$	любой член равен среднему соседей — проверка на прогрессию
Свойство геометрической	$b_{k}^{2} = b_{k - 1} \cdot b_{k + 1}$	квадрат члена равен произведению соседей

Функции и их графики

В девятом классе встречаются пять графиков, и каждый узнаётся по силуэту: парабола с вершиной, гипербола из двух ветвей, ветвь корня, прямая и кубическая парабола. На ОГЭ график работает в обе стороны: по уравнению описать поведение и по графику вытащить коэффициенты. Вершину параболы считай по формуле — попытка определить её на глаз по точкам промахивается чаще всего.

График	Что важно	Где ошибаются
Парабола $y = a x^{2} + b x + c$	ветви вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$ ; вершина $x = - \frac{b}{2 a}$	судят о ветвях по знаку $c$ , хотя $c$ — точка пересечения с осью $y$
Ось симметрии	$x = - \frac{b}{2 a}$	теряют минус и ставят вершину не в ту сторону
Гипербола $y = \frac{k}{x}$	при $k > 0$ ветви в I и III четвертях, при $k < 0$ — во II и IV	определяют четверти по знаку $x$ , а решает знак $k$
Корень $y = x$	определена при $x \geq 0$ , растёт медленно	продолжают график влево от нуля — там его нет
Прямая $y = k x + b$	наклон задаёт $k$ , сдвиг по оси $y$ — число $b$	путают наклон и сдвиг: при $k < 0$ прямая убывает
Кубическая $y = x^{3}$	растёт на всей оси, симметрична относительно нуля	ищут у неё вершину — вершины нет

Системы уравнений

Система — это несколько уравнений с общей парой чисел в ответе. Три способа: подстановка — вырази одну переменную и подставь во второе уравнение; сложение — домножь уравнения так, чтобы одна переменная исчезла при сложении; графический — построй оба графика и найди точки пересечения. Отдельный подарок девятого класса — симметричные системы: сумма и произведение корней сразу дают квадратное уравнение через Виета.

Способ	Когда удобен	Где ошибаются
Подстановка	в одном уравнении легко выразить $y$ или $x$	подставляют не в то уравнение или теряют скобку при возведении в квадрат
Сложение	коэффициенты при одной переменной совпадают или противоположны	домножают только левую часть уравнения, забывая правую
Графический	нужна прикидка или проверка ответа	принимают приближённые координаты за точные
Симметричная система	$x + y = s$ и $x y = p$ : пара корней решает $t^{2} - s t + p = 0$	перебирают числа вслепую, когда Виет даёт ответ за минуту
Проверка	подставь оба числа в оба уравнения	проверяют пару только в одном уравнении из системы

Утверждение 1 из 6

Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности

Верно или нет: шесть утверждений девятого класса

Каждое утверждение — типичный вариант ответа на тесте. Найди два ошибочных и разберись, почему остальные верны.

Таблицы отрабатывай на уроках девятого класса: квадратичную функцию и её график — на /algebra/9-klass/kvadratichnaya-funkciya/, квадратные неравенства — на /algebra/9-klass/kvadratnye-neravenstva/, метод интервалов — на /algebra/9-klass/metod-intervalov/, целые и биквадратные уравнения — на /algebra/9-klass/celoe-uravnenie-bikvadratnoe/, арифметическую прогрессию — на /algebra/9-klass/arifmeticheskaya-progressiya/, геометрическую — на /algebra/9-klass/geometricheskaya-progressiya/, системы второй степени — на /algebra/9-klass/sistemy-uravnenij-vtoroj-stepeni-9/, графическое решение систем — на /algebra/9-klass/graficheskoe-reshenie-9/. Числа проверяй на калькуляторах /calc/kvadratnoe-uravnenie/, /calc/progressiya/ и /calc/sistema-2x2/, а базу восьмого класса — дроби с переменной, корни и степени — догоняй по шпаргалке /guides/shpargalka-algebra-8/.

Мини-квиз на отдыхе

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Какой режим подготовки эффективнее?

Частые вопросы

Как быстро повторить всю алгебру за 9 класс перед контрольной?

Прогони шпаргалку таблица за таблицей с закрытой правой колонкой: формулы сокращённого умножения, дискриминант с Виетом, метод интервалов, шесть формул прогрессий, пять графиков и способы решения систем. Что не вспомнилось — реши по одной задаче на эту тему на уроке, ссылки в конце страницы.

Чем теорема Виета помогает на экзамене?

Дважды: на подборе и на проверке. У приведённого уравнения корни — пара чисел с суммой минус p и произведением q, и у простых уравнений они находятся перебором за секунды. А корни, найденные по формуле, проверяются сложением и умножением: не сошлось — где-то потерян минус.

Когда сумма бесконечного числа членов геометрической прогрессии конечна?

Когда модуль знаменателя меньше единицы: члены убывают, и их сумма сходится к частному от деления первого члена на разность единица минус q. Классический пример — прогрессия с половиной: каждый член вдвое меньше предыдущего, а сумма всех членов равна удвоенному первому.

Как понять, что метод интервалов применён правильно?

Три проверки: на оси стоят все нули числителя и знаменателя, нули знаменателя выколоты, в ответе записаны промежутки, а не отдельные числа. Финальный контроль — подставь любую точку из ответа в исходное неравенство: получилось верное числовое неравенство, значит знаки расставлены верно.