Гайд2026-09-01

Шпаргалка по геометрии за 9 класс: планиметрия к ОГЭ

Планиметрия девятого класса на одной странице: теоремы синусов и косинусов, четыре формулы площади треугольника, четырёхугольники, окружность, векторы и метод координат. Таблицы фактов, ловушки ОГЭ и недельный план повторения.

До ОГЭ неделя, а геометрия в голове — каша: теоремы перемешались, площади перепутались, и непонятно, с какой стороны начинать. Хорошая новость: планиметрия девятого класса складывается в пять блоков, и каждый умещается в одну таблицу. Вечера хватит: прогони эту страницу сверху вниз, закрывай рукой колонку с формулой и вспоминай её по названию строки. Всё, что всплывёт с запинкой, — отмечай и добивай на разборах, ссылки в конце.

Треугольники: теоремы синусов и косинусов

Выбор теоремы простой. Знаешь сторону и противолежащий ей угол — это про синусы. Знаешь две стороны и угол между ними — это про косинусы. Пример: a = 5, b = 7, угол между ними 60°. Тогда c² = 25 + 49 − 2·5·7·0,5 = 39, и третья сторона равна √39 ≈ 6,2. Теорема косинусов — «Пифагор с поправкой»: при прямом угле поправка обнуляется.

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

Теорема синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, 2R — диаметр описанной окружности.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Теорема косинусов: угол γ лежит между сторонами a и b. При γ = 90° остаётся теорема Пифагора.

Формула площади	Когда брать
$S = \frac{1}{2} ah$	есть основание и проведённая к нему высота
$S = \frac{1}{2} ab sin γ$	известны две стороны и угол между ними
$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , где $p = \frac{a + b + c}{2}$	известны все три стороны — формула Герона
$S = \frac{ab c}{4 R}$	известны три стороны и радиус описанной окружности

Как это выглядит на ОГЭ: в задании дают две стороны и синус угла — значит, площадь через половину произведения; дают три стороны — Герон; просят сторону по двум углам и стороне — цепочка синусов. Отдельный помощник — соотношения в прямоугольном треугольнике: синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего, тангенс — отношению катетов. Через них решается половина вычислительных задач без теорем вообще.

Четырёхугольники: свойства и площади

Фигура	Ключевые свойства	Площадь
Параллелограмм	противоположные стороны и углы равны; диагонали делятся точкой пересечения пополам	$S = ah = ab sin α$
Прямоугольник	все углы прямые; диагонали равны	$S = ab$
Ромб	все стороны равны; диагонали перпендикулярны и делят углы пополам	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Трапеция	основания параллельны; средняя линия равна полусумме оснований	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Средняя линия трапеции и медиана треугольника — быстрые помощники в первой части: полусумма оснований часто и есть искомый отрезок, а медиана делит треугольник на два равновеликих, то есть площади половинок равны.

Три приёма, которые чаще всего спасают: диагональ режет четырёхугольник на два треугольника — если свойств фигуры не хватает, считай по треугольникам; сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°; при секущей у параллельных прямых накрест лежащие углы равны, а односторонние дают 180°.

Окружность: углы, касательные, вписанные и описанные

Факт	Формулировка
Центральный угол	равен дуге, на которую опирается
Вписанный угол	равен половине дуги, на которую опирается
Касательная	перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки двух касательных из одной точки равны
Вписанный четырёхугольник	сумма противоположных углов равна 180°
Описанный четырёхугольник	суммы противоположных сторон равны
Где центр	вписанной окружности — пересечение биссектрис; описанной — пересечение серединных перпендикуляров

R = \frac{ab c}{4 S}, r = \frac{S}{p}

Радиус описанной окружности треугольника через три стороны и площадь; радиус вписанной — через площадь и полупериметр p.

Как это выглядит в задачах: дали дугу — вписанный угол равен её половине; дали хорду и расстояние от центра — перпендикуляр из центра делит хорду пополам; просят угол четырёхугольника, вписанного в окружность, — отнимай из 180° противоположный. Не пытайся держать в голове всё: достаточно центрального и вписанного углов, касательной с радиусом и двух сумм для четырёхугольников.

Векторы и метод координат

Метод координат превращает геометрию в арифметику: расстояние между точками, середина отрезка и угол между векторами считаются по формулам, почти без чертежей. Пример: A(1; 2) и B(4; 6) — расстояние √(3² + 4²) = 5, середина — точка (2,5; 4). Теория целиком — в уроке /geometriya/9-klass/vektory-i-koordinaty/.

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Расстояние между точками: корень из суммы квадратов разностей координат.

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ

Скалярное произведение двумя способами. Ноль — векторы перпендикулярны, отрицательное значение — угол тупой.

Угол между векторами достаётся из второй части равенства: cos φ равен скалярному произведению, делённому на произведение длин. Координаты середины — средние координат концов отрезка. Проверить свои вычисления можно в калькуляторах /calc/vektory/ и /calc/ugol-mezhdu-vektorami/.

К методу координат в девятом классе добавляется уравнение окружности: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ , где (a; b) — центр. «Найди центр и радиус» решается чтением уравнения, а «лежит ли точка на окружности» — подстановкой координат: сошлось равенство, значит, лежит. Разбор с уравнением прямой — в уроке /geometriya/9-klass/uravnenie-okruzhnosti-9/.

Правильные многоугольники и движения

Что	Формула или факт
Угол правильного n-угольника	$\frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$ : у шестиугольника 120°, у пятиугольника 108°
Сторона через радиус описанной окружности	$a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ : у шестиугольника сторона равна радиусу
Длина окружности и площадь круга	$C = 2 π R$ , $S = π R^{2}$
Движения	осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос — сохраняют расстояния и углы

Правильные многоугольники в задачах почти всегда означают шестиугольник или квадрат: у первого сторона равна радиусу описанной окружности, у второго диагональ равна стороне, умноженной на √2. Движения чаще проверяют качественно: композиция двух движений — снова движение, поэтому две осевые симметрии относительно параллельных прямых дают параллельный перенос на удвоенное расстояние между осями. Подробности — в уроке /geometriya/9-klass/geometricheskie-preobrazovaniya/.

Как повторить планиметрию за неделю до ОГЭ

Дни 1–2: треугольники — теоремы синусов и косинусов плюс четыре формулы площади; по одной задаче на каждую формулу.
День 3: четырёхугольники — прогони таблицу свойств и площадей, отдельно отработай трапецию со средней линией.
День 4: окружность — вписанные и центральные углы, касательные, суммы углов и сторон для вписанных и описанных четырёхугольников.
День 5: векторы и метод координат — расстояние, середина, скалярное произведение, угол между векторами.
Дни 6–7: смешанные задачи из разборов — сначала вычислительные, затем на доказательство; каждой ошибке — запись в тетрадь.

Мини-словарь темы

Медиана#: Отрезок от вершины к середине противоположной стороны; медианы пересекаются в отношении 2:1 от вершины
Биссектриса#: Луч, делящий угол пополам; в треугольнике делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон
Вписанный угол#: Угол с вершиной на окружности; равен половине дуги, на которую опирается
Касательная#: Прямая с единственной общей точкой с окружностью; перпендикулярна радиусу в точке касания
Вектор#: Направленный отрезок; координаты равны разности координат конца и начала
Движение#: Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками

Первый шаг — сегодня же закрой таблицу площадей и восстанови её по памяти: это самый дешёвый источник баллов на экзамене. Потом закрепляй по разборам: треугольники /oge/matematika/zadanie-9-oge-math-treugolniki-vychisleniya/ и вычислительная геометрия второй части /oge/matematika/zadanie-23-oge-m23-geometriya-vychislenie/, весь хаб разборов — /oge/matematika/. Теория с построениями — в уроках /geometriya/9-klass/sinusy-kosinusy/ и /geometriya/9-klass/pravilnye-mnogougolniki/, преобразования плоскости — /geometriya/9-klass/geometricheskie-preobrazovaniya/. Считать быстро: /calc/teorema-sinusov/, /calc/teorema-kosinusov/, /calc/ploshad-treugolnika/ и /calc/okruzhnost/. Все формулы с печатью одной кнопкой — в справочнике /spravochnik/geometriya/, а общая стратегия подготовки к экзамену — в гайде /guides/kak-podgotovitsya-k-oge-po-matematike/.

Мини-квиз на отдыхе

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Какой режим подготовки эффективнее?

Частые вопросы

Какая формула площади треугольника лучше всего работает на ОГЭ?

Зависит от данных: при основании и высоте — половина их произведения, при двух сторонах и угле — половина произведения на синус угла. Три стороны без углов считаются формулой Герона, и её стоит прогнать руками хотя бы один раз до экзамена.

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?

Девяноста градусам, всегда: диаметр отсекает половину окружности, то есть дугу в 180°, а вписанный угол равен её половине. Это самый быстрый факт в доказательных задачах — увидел диаметр, ищи прямой угол.

Чем биссектриса отличается от медианы в треугольнике?

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, биссектриса делит угол пополам. Совпадают они только в равнобедренном треугольнике, если проведены к основанию, — в общем случае это разные отрезки.

Как найти угол между векторами по координатам?

Посчитай скалярное произведение x₁x₂ + y₁y₂ и произведение длин векторов, затем раздели первое на второе — получится косинус угла. Ноль означает перпендикулярность, отрицательное значение — тупой угол.

Что повторять по геометрии за неделю до ОГЭ?

По одному блоку в день: треугольники с формулами площадей, четырёхугольники, окружность, векторы и метод координат, затем смешанные задачи. Порядок расписан в этой шпаргалке шагами, а закреплять удобнее на разборах заданий 9, 17 и 23.