Формулы по вероятности и статистике: шпаргалка

Всё, что нужно помнить: формулы школьного курса вероятности и статистике по классам. Открыли перед контрольной — пробежали глазами — вспомнили.

Вероятность и статистика: 10 класс

6 тем · 19 формул

Комбинаторика: перебор вариантов и правило умножения

N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}

выбор из k шагов, каждый вариант шага сочетается с каждым вариантом следующего

P (A) = \frac{m}{n}

m — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных исходов опыта

Перестановки и факториалы

n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1

Факториал: произведение всех натуральных чисел от единицы до n; число перестановок n различных предметов

\frac{n !}{n _{1} ! \cdot n _{2} ! \cdot \dots \cdot n _{k} !}

Число перестановок n предметов с k группами одинаковых: n1 предметов в первой группе, n2 во второй и так далее, n1 + n2 + … + nk = n

Размещения и сочетания

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

размещение из n по k: выбрать k объектов и раздать им разные роли

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}

сочетание из n по k: порядок не важен, поэтому размещение делим на k!

C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}

рекуррентное свойство: команды с Петей плюс команды без Пети

Множества и события: операции и диаграммы Эйлера

x \in A, x \in / A, B \subseteq A, \emptyset

записи: x лежит в множестве A; x не лежит в A; B — подмножество A (каждый элемент B лежит в A); пустое множество, в котором нет ни одного элемента

A \cup B, A \cap B, A ∖ B, A^{'} = U ∖ A

объединение — «A или B»; пересечение — «A и B»; разность — «A без B»; дополнение A со штрихом — всё из универсума, что не лежит в A

(A^{'})^{'} = A, A \cup A^{'} = U, A \cap A^{'} = \emptyset

дополнение дополнения возвращает само множество; множество вместе со своим дополнением покрывает весь универсум, а пересечение их пусто

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

формула включений-исключений: общие элементы лежат в обеих суммах и потому посчитаны дважды, лишний раз они и вычитаются; у несовместных событий пересечение пусто и остаётся чистое сложение

Вероятности сложных событий: сложение, умножение, противоположные

P (A \cup B) — «A или B», P (A \cap B) — «A и B»

Объединение и пересечение событий: короткая запись, чтобы формулы читались на одном дыхании

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

Сложение для несовместных событий: общих исходов нет, P(A∩B) = 0

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Формула включений и исключений: общий закон сложения; несовместный случай — частный, ведь там P(A∩B) = 0

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

Общая формула умножения; для независимых событий P(B|A) = P(B), и остаётся P(A)·P(B)

Треугольник Паскаля и бином Ньютона

C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}

рекуррентное свойство: правило постройки любого внутреннего числа треугольника

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}

сумма чисел строки n: столько подмножеств у набора из n элементов

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

бином Ньютона: слагаемых n+1, коэффициенты — строка номер n треугольника Паскаля

(a - b)^{n} = k = 0 \sum n (- 1)^{k} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

разность в скобке: минус достаётся каждой нечётной степени b

Вероятность и статистика: 11 класс

6 тем · 11 формул

Случайные величины и их распределения

E (X) = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + \dots + x_{n} \cdot p_{n}

каждое значение умножают на его вероятность, и произведения складывают

Дисперсия и стандартное отклонение

s^{2} = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}

x с чертой — среднее набора; s² — выборочная дисперсия: сумма квадратов отклонений, делённая на число значений

D (X) = E ((X - E (X))^{2}) = i \sum (x_{i} - E (X))^{2} p_{i}, σ = D (X)

весами служат вероятности значений; σ — стандартное отклонение величины

Испытания Бернулли и биномиальное распределение

P (X = k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Формула Бернулли: вероятность того, что в серии из n независимых испытаний наступит ровно k успехов

E (X) = n p, D (X) = n p (1 - p)

Ожидание и дисперсия биномиального распределения; выше оба значения проверены по определению

Геометрическое распределение: сколько ждать первого успеха

P (X = k) = q^{k - 1} \cdot p = (1 - p)^{k - 1} \cdot p, q = 1 - p

Вероятность того, что первый успех случится именно на k-й попытке: k − 1 неудач и затем успех

p \cdot (1 + q + q^{2} + \dots) = \frac{p}{1 - q} = 1

Сумма вероятностей по всем k от 1 до бесконечности: геометрическая прогрессия со знаменателем q

E (X) = \frac{1}{p}, D (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}

Ожидание и дисперсия геометрического распределения; для кубика это 6 и 30

Нормальное распределение: правило сигм

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

формула колокола Гаусса; запоминать её не нужно — достаточно знать, что в ней участвуют только μ и σ

z = \frac{x - μ}{σ}

z-оценка: отклонение значения от среднего, измеренное в сигмах

Корреляция и причинность: как связаны две величины

- 1 \leq r \leq 1

коэффициент корреляции живёт на отрезке от −1 до 1; крайние значения — точки точно на прямой, ноль — наклона облака нет

Вероятность и статистика: 7 класс

7 тем · 11 формул

Представление данных: таблицы и диаграммы

d = \frac{m}{n}

Доля: часть m, делённая на целое n. Дробь от 0 до 1, которую удобно умножать на 100%

α = d \cdot 36 0^{\circ}

Угол сектора круговой диаграммы: доля, умноженная на полный угол круга

Описательные статистики: среднее, медиана, размах

A = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n}

Среднее арифметическое: сумма всех n значений, делённая на их количество

M e = \frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}

Медиана набора с чётным количеством чисел n: полусумма двух средних элементов упорядоченного набора

Случайные опыты и события: от монетки к вероятности

W (A) = \frac{m}{n}

Частота события A: m — число опытов, в которых A произошло, n — число всех опытов серии

P (A) = \frac{m}{n}

Вероятность события A при равновозможных элементарных событиях: m — число благоприятных, n — число всех элементарных событий опыта

Частота и вероятность: устойчивость частоты

N \approx W \cdot n

Ожидаемое число появлений события в новой серии: частота W, найденная в прошлых опытах, умноженная на длину новой серии n

Графы и деревья в задачах

N = a \cdot b

Правило умножения: если первый выбор делается a способами и при каждом из них второй — b способами, то всего вариантов a·b

\frac{n ( n - 1 )}{2}

Число рукопожатий для n человек: каждый жмёт n-1 руку, двойной счёт убирается делением на два

Статистика в жизни общества

ИПЦ = \frac{цена корзины сейчас}{цена корзины год назад} \cdot 100%

Индекс потребительских цен: нынешняя стоимость корзины в процентах к прошлогодней

Случайная изменчивость: почему у всех разный рост

R = x_{m a x} - x_{m i n}

Размах. Для таблицы выше: 13,1 − 10,9 = 2,2 с

Вероятность и статистика: 8 класс

8 тем · 10 формул

Вероятность случайного события: классическое определение

P (A) = \frac{m}{n}

m — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных исходов

P (не A) = 1 - P (A)

Вероятность противоположного события

Деревья вероятностей: сложные опыты по веточкам

P (A и B) = P (A) \cdot P (B)

Вероятность совместного наступления независимых событий A и B

Правило умножения и перестановки: считаем варианты

N = m \cdot n

Правило умножения для двух независимых выборов

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n

Факториал: число перестановок n разных предметов

Геометрическая вероятность: площадь вместо подсчёта

P (A) = \frac{S ( A )}{S}

S — площадь всей фигуры, S(A) — площадь благоприятной части

Независимые события: проверка умножением

P (A и B) = P (A) \cdot P (B)

Критерий независимости событий A и B

Математическое ожидание и риск

E = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + x_{3} \cdot p_{3} + \dots

Математическое ожидание числового исхода опыта

Противоположные события и формула сложения

P (A ˉ) = 1 - P (A)

Вероятность противоположного события

Практикум: классическая вероятность — монеты, кости, шары

P (A) = \frac{m}{n}

m благоприятных из n равновозможных

Вероятность и статистика: 9 класс

7 тем · 7 формул

Сочетания: выбираем команды и наборы

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Число сочетаний из n по k; n! — произведение всех чисел от 1 до n

Испытания Бернулли: серия одинаковых опытов

P (k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Формула Бернулли: вероятность ровно k успехов в серии из n независимых опытов

Закон больших чисел: почему частота стремится к вероятности

W = \frac{k}{n}

Частота события: число успехов k делить на число испытаний n

Условная вероятность: шанс при известном условии

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

A ∩ B — событие «случились и A, и B»; P(B) — вероятность условия

Распределения по-простому: колокол и правило 68%

x ˉ \pm σ

внутри этого интервала при нормальном распределении лежит примерно 68% значений

Случайные величины: таблица распределения и матожидание

M (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2}

Матожидание: каждое значение умножаем на его вероятность, произведения складываем

Размещения и сочетания: где порядок важен

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}

Число размещений из n по k

Как пользоваться справочником

Справочник устроен как экспресс-повторение: формулы сгруппированы по классам и темам, у каждой — подпись, которая напоминает, что именно формула считает. Перед контрольной достаточно пробежать глазами по своему классу; если какая-то строка «не вспоминается» — нажмите ссылку с названием темы: откроется урок, где формула выводится и применяется на живом примере с пошаговым решением.

Кнопка печати сверху собирает все группы на один лист — удобно повесить над рабочим столом за пару дней до экзамена или вклеить в тетрадь. Фильтр по слову помогает быстро найти нужную формулу в длинном списке: начните вводить, например, «площадь» или «скорость».

Что дальше

Формула вспомнилась — закрепи её в задачах: открой уроки по вероятности и статистике или экзамен-таймер на скорость. Ссылка «разбор» над каждой группой ведёт к уроку, где формула применяется на живом примере. Если нужно не «как считать», а «как называется и что значит» — открой словарь терминов по вероятности и статистике.

Полная программа с темами по классам — на странице предмета Вероятность и статистика: там же тренажёры к каждой теме и итоговая контрольная для самопроверки. Справочник — это карточка для повторения, а не замена уроков: формулы работают, когда понимаешь, откуда они берутся.

Темы курса, в которых нужны формулы

Уроки вероятности и статистике, в которых живут формулы из этого справочника, — по классам. Кликните тему: откроется полный разбор с примерами, лабораторией и тренажёром.

10 класс — Комбинаторика: перебор вариантов и правило умножения — Считаем варианты системно: полный перебор таблицей и деревом, правило произведения для «и», правило суммы для «или», двойной счёт, связь с классическо…
10 класс — Перестановки и факториалы — Факториал как число со свойствами: рекуррентная формула, 0! = 1, рост и грубые оценки, перестановки с повторениями, очереди, полки, расписания и вероя…
10 класс — Размещения и сочетания — Различаем размещения и сочетания: выводим формулы A(n,k) и C(n,k), разбираем треугольник Паскаля, его свойства и связь с биномом Ньютона — от рукопожа…
10 класс — Множества и события: операции и диаграммы Эйлера — Множества как язык событий для 10 класса: элементы и подмножества, объединение, пересечение, разность и дополнение, круги Эйлера, несовместные и проти…
10 класс — Вероятности сложных событий: сложение, умножение, противоположные — Ящик инструментов для сложных событий: сложение для несовместных и совместных, включения и исключения по диаграммам Эйлера, умножение с условной вероя…
10 класс — Треугольник Паскаля и бином Ньютона — Строим треугольник Паскаля по одному правилу сложения, читаем адреса чисел и суммы строк, выводим бином Ньютона и применяем его: коэффициенты при степ…
11 класс — Случайные величины и их распределения — Дискретная случайная величина и её закон распределения: таблица с проверкой на единицу, функция распределения ступеньками, ожидание E(X), линейность и…
11 класс — Дисперсия и стандартное отклонение — Разброс данных одним числом: выборочная дисперсия как средний квадрат отклонения, D(X) = E((X − E(X))²) для дискретных величин, σ = √D и единицы измер…
11 класс — Испытания Бернулли и биномиальное распределение — Серия одинаковых испытаний под микроскопом: формула P(X=k), таблица биномиального распределения, самое вероятное число успехов, ожидание np и дисперси…
11 класс — Геометрическое распределение: сколько ждать первого успеха — Повторяем опыт до первого успеха: величина X — номер удачной попытки, P(X = k) = q^(k−1)·p, сумма ряда равна 1, ожидание E(X) = 1/p, дисперсия (1−p)/p…
11 класс — Нормальное распределение: правило сигм — Нормальное распределение с двумя параметрами μ и σ: почему колокол встречается везде, правило 68-95-99,7 на примере роста, обратные задачи об интервал…
11 класс — Корреляция и причинность: как связаны две величины — Связь двух величин одной цифрой: диаграмма рассеяния, ковариация и коэффициент корреляции r от −1 до 1, шкала силы по модулю. Знаменитые ложные коррел…
7 класс — Представление данных: таблицы и диаграммы — Сырые числа превращаем в таблицу частот, столбиковую и круговую диаграммы: опрос класса о дороге в школу, экранное время за неделю и доли семейного бю…
7 класс — Описательные статистики: среднее, медиана, размах — Три вопроса к любому набору данных: что в среднем, что посередине и насколько разбросано. Считаем среднее, медиану и размах на просмотрах канала, оцен…
7 класс — Случайные опыты и события: от монетки к вероятности — Почему подбрасывание монеты — честный способ разыграть первый удар, что такое элементарные события и как по серии бросков посчитать частоту и подойти …
7 класс — Частота и вероятность: устойчивость частоты — Пакет семян, партия скрепок и лотерейные билеты: считаем частоту события по серии опытов, следим, как она стабилизируется с ростом серии, и делаем по …
7 класс — Графы и деревья в задачах — Точки и линии решают задачи о маршрутах, рукопожатиях и расписаниях: рисуем графы, строим дерево вариантов и считаем комбинации без пропусков и повтор…
7 класс — Статистика в жизни общества — Перепись, индекс цен, турнирная таблица и опрос социологов: где общество берёт числа и как решать, можно ли им верить.
7 класс — Случайная изменчивость: почему у всех разный рост — Рост, вес и время в школу у всех выходят разными: учимся видеть случайную изменчивость, отличать её от закономерности и измерять разброс размахом.
7 класс — Гистограмма и таблица частот — Двадцать расходов на обеды превращаем в таблицу частот и гистограмму: считаем доли, ищем пик и выбросы.
8 класс — Вероятность случайного события: классическое определение — Учимся мерить случайность числом: опыт и исходы, благоприятные варианты, формула P = m/n, противоположные события и таблица сумм двух кубиков.
8 класс — Деревья вероятностей: сложные опыты по веточкам — Сложный опыт рисуем как дерево: ветки шагов, произведение вероятностей вдоль пути, сложение путей и шары без возвращения.
8 класс — Правило умножения и перестановки: считаем варианты — Считаем варианты без перебора: правило умножения для «и», сложение для «или», перестановки и факториал для расстановок.
8 класс — Геометрическая вероятность: площадь вместо подсчёта — Геометрическая вероятность: дротик в мишень, точка в квадрате с кругом и ожидание автобуса. Считаем шанс как отношение площадей и длин.
8 класс — Независимые события: проверка умножением — Независимость событий проверяем умножением по числам: монета и кубик, шары с возвращением и без, сбой двух узлов и надёжность дублирования.
8 класс — Математическое ожидание и риск — Математическое ожидание — средний итог длинной серии: таблица выигрышей, честная игра, отрицательное ожидание лотереи и риск страховки.
8 класс — Противоположные события и формула сложения — Событие «не A» считается за секунду: 1 − P(A). Разбираем объединение, пересечение, формулу сложения и фразы «хотя бы один» и «не оба».
8 класс — Практикум: классическая вероятность — монеты, кости, шары — Разбираем классические задачи по шагам: две монеты, кости и сумма 7, урна. Алгоритм: все исходы, благоприятные, дробь, сокращение.
9 класс — Сочетания: выбираем команды и наборы — Считаем наборы без порядка: формула C(n,k), отличие от размещений, треугольник Паскаля и задачи от дежурных до лотереи.
9 класс — Испытания Бернулли: серия одинаковых опытов — Серия одинаковых опытов: условия схемы Бернулли, формула вероятности ровно k успехов и приём «хотя бы один через противоположное».
9 класс — Закон больших чисел: почему частота стремится к вероятности — Частота k/n и её устойчивость: опыты Бюффона, Пирсона и Керрича, закон больших чисел Бернулли и ловушка игрока.
9 класс — Условная вероятность: шанс при известном условии — Учимся считать шанс, когда часть информации уже известна: таблица 2×2, доля строки, формула через пересечение событий и шары без возвращения.
9 класс — Статистическое исследование: этапы, выборка, погрешность — Как из вопроса получить честный вывод: пять этапов исследования, генеральная совокупность и выборка, смещённые выборки и погрешность опроса.
9 класс — Распределения по-простому: колокол и правило 68% — Читаем данные как картину: гистограмма, пик и хвосты, нормальный колокол и правило 68%, выбросы, из-за которых среднее уплывает, а медиана держится.
9 класс — Случайные величины: таблица распределения и матожидание — Случайная величина — число из случайного опыта: строим таблицу распределения и считаем матожидание. Разбираем средний выигрыш, честную цену билета в л…
9 класс — Размещения и сочетания: где порядок важен — Староста с заместителем или просто пара дежурных: учимся замечать, где порядок важен, считаем размещения по формуле A из n по k и не путаем их с сочет…